Question

ABCD- trapez isoscel ortodiagonal
Demonstrati ca mijloacele laturilor sunt varfurile unui patrat.

Answer 1

notam M.N.Q si P mijloacele laturilor AD,AB,BC si DC
MP linie mijlocie in triunghiul ADC deci MP II AC  si egala cu AC/2
MN linie mijlocie in triunghiul ADB deci MN II DB  si egala cu DB/2
NQ linie mijlocie in triunghiul ABC deci NQ II AC  si egala cu AC/2
QP linie mijlocie in triunghiul BCD deci QP II DB  si egala cu DB/2
dar AC _I_ DB  rezulta ca MN_I_ NQ _I_MP si PQ_I_ MP_I_NQ
deci MNQP este un patrat pentru ca are 4 unghiuri egale fiecare cu 90 si laturile  egale

Answer 2

Notam:M,N,O , P mijloacele laturilor AD,AB,BC si DC
MP linie mijlocie in ΔADC deci MP II AC  si egala cu $\frac{AC}{2}$
MN linie mijlocie in Δ ADB deci MN II DB  si egala cu $\frac{DB}{2}$
NO linie mijlocie in Δ ABC deci NO II AC  si egala cu $\frac{AC}{2}$
OP linie mijlocie in Δ BCD deci OP II DB  si egala cu $\frac{DB}{2}$
dar AC _I_ DB  rezulta ca MN_I_ NO _I_MP si PO_I_ MP_I_NO
deci MNOP este un patrat pentru ca are 4 unghiuri egale fiecare cu 90 si laturile  egale