Question

ABCD un romb se stie ca AB=BD iar punctul M si N sunt mijloace laturilor [AB] respectiv [BC].
a)aratati ca triunghiul ADB este echilateral. 
b)aratati ca triunghiul DMN este echilateral.
c)aca P si Q sunt mijloacele laturilor [CD] respectiv [DA] aratati ca MNPQ este dreptunghi.

Answer 1

a)AB=AD (ABCD romb)=BD (ipoteza)⇒ADB echilateral

b) DM inaltimer in tr echilatABD
 DN inlatime in tr BDC
dar tΔ BDC≡ΔABD ( LLL), deci siΔBDC echilateral⇒DN≡DM (inaltimil;e in 2 tr.echilat congruente sut congruente)
deci ΔDMN isoscel
 DM inaltime in tr echilat, DM bisectoare⇒mas∡(MDB) =30°
 abnlaogDN bisectoare, mas ∡(NDB)=30°
deci mas MDN=30°+30°=60°
ΔMDN , isoscelk cu un unghi 60°, MND echilateral

Obs ; se putea face si cu MN linie mijlocie in ΔABC = (1/2) *2 inaltimi
=o inaltime si ΔMND avea trei laturi, fiecare cat o inaltime de tr ecchilatABD

c)MN l.m.ΔABC. MN||AC, MN=AC/2

PQ l.m.ΔADC, PQ||AC, PQ=AC?2
  MNPQ patrulater cu 2 laturio opuse || si ≡, MNPQ  paralelogram
MN||AC
MP||BD ( MN l.m in ΔABD)
AC⊥BD ( diagonale de romb)⇒MN⊥MP⇒mnpq paralelogram cu un unghi drept, MNPQ dreptunghi