Această problemă. Vă mulțumesc pentru ajutor!
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Salut,
Îți reamintesc că la aceste exerciții înmulțirea este de fapt compunerea permutărilor. Acel S₅ din enunț nu se referă la puterea permutării, ci se referă la gradul permutării, adică la numărul de termeni ai permutării (permutarea din enunț are 5 termeni).
\begin{gathered}\sigma^2=\sigma\cdot\sigma=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\2 & 3 & 1 & 5 & 4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\2 & 3 & 1 & 5 & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\3 & 1 & 2 & 4 & 5\end{array}\right)\ (1).\\\\\sigma^3=\sigma^2\cdot\sigma=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\3 & 1 & 2 & 4 & 5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\2 & 3 & 1 & 5 & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\1 & 2 & 3 & 5 & 4\end{array}\right)\ (2).\\\\\sigma^4=\sigma^3\cdot\sigma=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\1 & 2 & 3 & 5 & 4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\2 & 3 & 1 & 5 & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\2 & 3 & 1 & 4 & 5\end{array}\right)\ (3).\end{gathered}
σ
2
=σ⋅σ=(
1
2
2
3
3
1
4
5
5
4
)⋅(
1
2
2
3
3
1
4
5
5
4
)=(
1
3
2
1
3
2
4
4
5
5
) (1).
σ
3
=σ
2
⋅σ=(
1
3
2
1
3
2
4
4
5
5
)⋅(
1
2
2
3
3
1
4
5
5
4
)=(
1
1
2
2
3
3
4
5
5
4
) (2).
σ
4
=σ
3
⋅σ=(
1
1
2
2
3
3
4
5
5
4
)⋅(
1
2
2
3
3
1
4
5
5
4
)=(
1
2
2
3
3
1
4
4
5
5
) (3).
\begin{gathered}\sigma^5=\sigma^4\cdot\sigma=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\2 & 3 & 1 & 4 & 5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\2 & 3 & 1 & 5 & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\3 & 1 & 2 & 5 & 4\end{array}\right)\ (4).\\\\\sigma^6=\sigma^5\cdot\sigma=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\3 & 1 & 2 & 5 & 4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\2 & 3 & 1 & 5 & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\1 & 2 & 3 & 4 & 5\end{array}\right)\ (5).\end{gathered}
σ
5
=σ
4
⋅σ=(
1
2
2
3
3
1
4
4
5
5
)⋅(
1
2
2
3
3
1
4
5
5
4
)=(
1
3
2
1
3
2
4
5
5
4
) (4).
σ
6
=σ
5
⋅σ=(
1
3
2
1
3
2
4
5
5
4
)⋅(
1
2
2
3
3
1
4
5
5
4
)=(
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
) (5).
Am obținut deci că pentru n ≥ 6, avem că \sigma^n=eσ
n
=e , unde e este permutarea identică (cele 2 rânduri sunt egale cu 1 2 3 4 5).
Pentru n = 1 avem chiar definiția permutării din enunț, iar pentru n = 2, 3, 4 și 5, avem relațiile (1), (2), (3), (4) de mai sus.
Ai înțeles rezolvarea ?