Question

Aceasta problema va rog!

Answer 1

Observatie: Un triunghi isoscel care are un unghi de 60° este echilateral.

BC=BM => triunghiul BMC-isoscel => m(BCM)=m(BMC) 
Din ipoteza: m(BCM)=60°
=>m(BMC)=60°                      
Suma masurilor unghiurilor unui triunghi este 180°.
In triunghiul BMC: m(BMC)+m(BCM)+m(MBC)=180°
60°+60°+m(MBC)=180°
m(MBC)=60° (b)

=>m(MBC)=m(BMC)=m(BCM)=60° => triunghiul BMC-echilateral
=>BM=MC=BC

Din ipoteza: BC=8
=> MC=8

In triunghiul BMC: Fie BB'⊥MC; B'∈[MC]
Intr-un triunghi echilateral, inaltimea, mediana, bisectoarea, mediatorea coincid.
Oservatie: inaltimea unui triunghi echilateral de latura l este : $\frac{l \sqrt{3} }{2}$
Deci BB'-mediana =>MB'=B'C= $\frac{MC}{2}$ = 4

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul BB'C => $BC^{2}$ = $BB'^{2}$  + $B'C^{2}$

=> $BB^{2}$ = $BC^{2}$ - $B'C^{2}$
     $BB'^{2}$ = 64-16=48
    BB'= 4$\sqrt{3}$

AB || DB'        (1)
AD || BB'        (2)
m(ADB')=90° (3)
Din (1),(2),(3) => ABB'D-dreptunghi =>AD=BB' si AB=DB'=6

=> AD= 4$\sqrt{3}$
DC=DB'+B'C=6+4=10

=>Perimetrul este AB+AD+DC+BC=6+ 4$\sqrt{3}$ +10+8= 24+ 4$\sqrt{3}$

Aria este $\frac{(AB+BC)*AD}{2}$