Question

Aceste exerciții.Vă mulțumesc anticipat !​

Answer 1

Răspuns:

1) $\epsilon(\sigma_0\cdot\sigma)=\epsilon(\sigma_0)\cdot\epsilon(\sigma)=(-1)\cdot 1=-1$

Deci $\sigma_0\sigma$ este o permutare impară, deci funcția este corect definită.

2) Fie $\sigma_1, \ \sigma_2$ astfel încât $f(\sigma_1)=f(\sigma_2)\Rightarrow\sigma_0\sigma_1=\sigma_0\sigma_2$. Înmulțind la stânga cu $\sigma_0^{-1}$ rezultă $\sigma_1=\sigma_2$, deci funcția este injectivă.

Arătăm că funcția este și surjectivă, adică pentru orice permutare impară $\tau$, există o permutare pară $\sigma$ astfel încât $f(\sigma)=\tau$.

$f(\sigma)=\tau\Rightarrow \sigma_0\sigma=\tau\Rightarrow\sigma=\sigma_0^{-1}\tau$, care este o permutare pară.

Datorită bijectivității funcției rezultă că $A_m$ și $I_m$ au același număr de elemente.

2) Avem

$\dfrac{\sigma(1)}{1}=\dfrac{\sigma(2)}{2}=\ldots=\dfrac{\sigma(n)}{n}=\dfrac{\sigma(1)+\sigma(2)+\ldota+\sigma(n)}{1+2+\ldots+n}=\\=\dfrac{1+2+\ldots+n}{1+2+\ldots+n}=1$

deoarece $\sigma$ parcurge toate valorile de la 1 la n.

Atunci $\sigma(1)=1, \ \sigma(2)=2, \ \ldots \ \sigma(n)=n$

Deci $\sigma=e$.

Explicație pas cu pas: