Question

Aceste exerciții.Vă mulțumesc anticipat !​

Answer 1

Răspuns:

a) Folosind proprietățile logaritmilor se obține

$\lg\sqrt{xy}\le\lg\frac{1}{2}\Rightarrow\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}$, inegalitate adevărată

b) Avem $y=1-x$. Atunci inegalitatea devine succesiv

$\x\lg x+(1-x)\lg(1-x)\ge\frac{1}{2}\lg x+\frac{1}{2}\lg(1-x)$

$x\lg x+\lg(1-x)-x\lg(1-x)-\frac{1}{2}\lg x-\frac{1}{2}\lg(1-x)\ge 0$

$\displaystyle\left(x-\frac{1}{2}\right)(\lg x-\lg(1-x))\ge 0$

Dacă $x\in\left(0,\displaystyle\frac{1}{2}\right)$ atunci ambele paranteze sunt negative, deci produsul lor este pozitiv.

Dacă $x\in\left[\displaystyle\frac{1}{2},1\right)$ atunci ambele paranteze sunt pozitive, deci produsul este pozitiv.

Deci inegalitatea este adevărată.

Explicație pas cu pas: