Question

Admitere Academia Tehnica Militară 2021
Mă poate ajuta cineva cu un răspuns la exercitiul de mai jos? Mulțumesc!

Answer 1

Răspuns:

Avem

$\displaystyle\frac{x^n}{x^2+1}=\frac{2x}{x^2+1}\cdot\frac{x^{n-1}}{2}\le\frac{x^{n-1}}{2}$

deoarece $\displaystyle\frac{2x}{x^2+1}\le 1, \ \forall x\in[0,1]$

$x^2+1\le 2, \ \forall x\in[0,1]\Rightarrow \displaystyle\frac{1}{x^2+1}\ge\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{x^n}{2}\le\frac{x^n}{x^2+1}$

Deci

$\displaystyle\frac{x^n}{2}\le\frac{x^n}{x^2+1}\le\frac{x^{n-1}}{2}\Rightarrow\int_0^1\frac{x^n}{2}dx\le I_n\le\int_0^1\frac{x^{n-1}}{2}dx\Rightarrow\\\Rightarrow\frac{1}{2(n+1)}\le I_n \le\frac{1}{2n}\Rightarrow\frac{n}{2(n+1)}\le nI_n\le\frac{n}{2n}$

Trecând la limită și aplicând criteriul cleștelui rezultă $l=\displaystylr\frac{1}{2}$.

Explicație pas cu pas: