Question

Admitere UPT 2019 , AM 187

Answer 1

I = ∫₀¹² x√(14-√(13²-x²)) dx

Fac schimbarea de variabilă:

√(13²-x²) = t

⇒ 13²-x² = t² ⇒ x² = 13²-t² ⇒ 2xdx = -2tdt

⇒ xdx = -tdt

x = 0 ⇒ t = 13

x = 12 ⇒ t = √[(13-12)(13+12)] = √25 = 5

I = ∫₁₃⁵ -t√(14-t) dt =  ∫₅¹³ t√(14-t) dt

Fac schimbarea de variabilă:

√(14-t) = y

⇒ 14-t = y² ⇒ t = 14 - y² ⇒ dt = -2ydy

t = 5 ⇒ y = √9 = 3

t = 13 ⇒ y = √(14-13) = 1

I = ∫₃¹ (14-y²)y·(-2ydy) =

= 2∫₁³ (14-y²)y² dy =

= 28∫₁³ y² dy - 2∫₁³ y⁴ dy =

= 28y³/3⏐₁³ - 2y⁵/5⏐₁³ =

= 28·3³/3 - 28·1³/3 - 2·3⁵/5 + 2·1²/5 =

= 28·27/3 - 28/3 - 2·243/5 + 2/5 =

= 756/3 - 28/3 - 486/5 + 2/5 =

= 728/3 - 484/5 =

= (3640 - 1452)/15

= 2188/15

Răspuns:  c)