Question

Afla restul impartirii nr Aegal cu8+8*2+8*3+.....+8*2011 la 13 si demonstreaza ca A-2011 este divizibil cu
7. Ptr intelegerea enunţului precizez ca 8*2 inseamna 8 la puterea 2 s.a.m.d. Ex e in culegere de cls a Vi-a.

Answer 1

(8+8^3)+(8²+8^4)+(8^5+8^7)+(8^6+8^8)+.....+(8^2008+8^2010)+ (8^2009+8^2011)=

8 (1+8²) +8²(1+8²)+8^5(1+8²)+8^6 (1+8²) +8^9((1+8²)+8^10 (1+8²)+... +8^2009(1+8²)= (8+8²+8^5+8^6+....8^2009)*65
dar 65 =5*13 deci se divide cu 13, deci A se divide cu 13
 deci restul impartirii lui A la 13 este 0, cerinta

A-2011=8-1+8²-1+8³-1+ 8^4-1+8^5-1+............8^2011-1
8-1=7 divizibil cu 7
8²-1=64-1=63 divizibil cu 7
8³-1=511 divizibil cu 7 (511:7=73)pt clas a 6-a presupui ca si urmatoarele grupe tip 8^n-1  sunt divizibile cu 7 si atunci tot numarul va fi divizibil cu 7
NU STIU altfel pt clasa a VI-a

pt clasa a 9-a se cunoaste formula de calcul prescurtat
 x^n-1=(x-1)[(x^(n-1)+ x^(n-2)+...+x²+x+1]
in particular, pt x=8 si n=2, 3,4,5,.....2011
8^n-1=(8-1)[ 8^(n-1)+ 8^(n-2)+....+8²+8+1]
 deci toate grupele 8 ^k =1, cu k=2, 3,4,....2011 se vor divide cu 7
Atunci tot numarul A-2011 se va divide cu 7, cerinta