Question

află ultima cifră a numărului 2 la puterea 2017 ori 5 la puterea 21 plus 2 la puterea 29 și stabilește dacă acest număr este un pătrat perfect

Answer 1

Pentru inceput, sa incepem sa insiram puterile lui 2:

2^1 = 2

2^2 = 4

2^3 = 8

2^4 = 16

2^5 = 32

2^6 = 64

Putem observa ca ultima cifra incepe sa se repete odata la 4 "puteri", deci inseamna ca

2^(4k) se va termina in acelasi numar cu 2^4, adica 6.

2^(4k+1) se va termina in acelasi numar cu 2^1, adica 2.

2^(4k+2) se va termina in acelasi numar cu 2^2, adica 4.

2^(4k+3) se va termina in acelasi numar cu 2^3, adica 8.

Unde k este orice numar natural.

Sa ne uitam si la puterile lui 5, acum:

5^1 = 5; 5^2 = 25; 5^3=125; 5^4=625 etc

Putem observa ca toate puterile lui 5 se termina in cifra 5.

Astfel, problema noastra poate sa fie scrisa ca:

2^2017 * 5^21 +2^29 = 2^(4*504+1) * 5^21 + 2^(4*7+1) =

Considerand ce am scris mai sus, pentru a gasi ultima cifra putem inlocui cu:

= 2*5 + 2 = 12 => 2 este ultima cifra

Patrat perfect?

2^2017 * 5^21 + 2^29 = 2^29 * (2^1988*5^21 + 1) = (2^28) * 2 * (2^1988*5^21 + 1) = 2 * (2^14)^2 * [ (2^994)^2 * (5^10)^2 *5 + 1 ]

Am ajuns sa scriem tot numarul ca o inmultire de factori. Daca l am scrie sub radical, nici 2, si nici paranteza nu ar putea sa fie scoase deoarece nu pot sa fie scrise drept ceva la puterea a2a, deci numarul nu este patrat perfect.