Question

Aflaflati cifrele A si B stiind ca ab+ba, respectiv ab-ba sunt patrate perfecte

Answer 1

Vom descompune numerele in baza 10:
ab + ba = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11(a + b)
ab - ba = 10a + b - 10b - a = 9a - 9b = 9(a - b)

Stim ca cele 2 expresii au ca rezultat final un patrat perfect:

11(a + b) = x²
9(a - b) = y²

Unde x si y sunt numere naturale.

Daca 11(a + b) = x² ==> x² este divizibil cu 11
11 este numar prim, deci nu mai poate fi descompus in alti factori primi ==>
x este divizibil 11 ==> x = 11n, unde n este numar natural

Putem inlocui in prima relatie:

11(a + b) = (11n)²
11(a + b) = 11 * 11 * n²
a + b = 11n² ==> a + b sunt divizibile cu 11
Cum a si b sunt cifre, suma maxima poate fi 18, iar suma minima poate fi 0.
Din acest interval doar 0 si 11 satisfac relatia.

Cazul I: a + b = 0 ==> a = b = 0 

Cazul ramas:
a + b = 11   (1)

Ne intoarcem la cea de-a doua relatie:
9(a - b) = y² ==> y² este divizibil cu 9
9 poate fi descompus in 3² ==> Stim sigur ca y este divizibil cu 3 ==> x = 3m, unde m este numar natural

Inlocuim:
9(a - b) = (3m)²
9(a - b) = 9m²
a - b = m² ==> Diferenta dintre a si b este patrat perfect (2)

Acum nu avem decat sa luam fiecare caz care satisface relatia (1) si sa-l verificam cu relatia (2).

a + b = 11 ==> (a, b) ∈ {(9, 2), (8, 3), (7, 4), (6, 5), (5, 6), (4, 7), (3, 8), (2, 9)}
Dintre acestea doar perechea (6, 5) are diferenta un patrat perfect ==> 
a = 6
b = 5