Question

aflarea celui mai mare divizor comun si aflarea celui mai mic multiplu comun, a doua sau mai multor numere naturale​

Answer 1

Date fiind două sau mai multe numere naturale, nu toate nule, mulţimea divizorilor comuni este nevidă, deoarece conţine cel puţin un element, şi anume pe 1.

Definiţie

Numărul natural d este cel mai mare divizor comun al numerelor naturale a şi b, nu ambele nule, dacă satisface simultan condiţiile:

– d divide pe a şi d divide pe b

– d este divizibil cu orice divizor comun al numerelor a şi b.

Cel mai mare divizor comun al numerelor a şi b se notează c.m.m.d.c.(a,b) sau (a,b).

(a,b) = d dacă şi numai dacă:

– d|a şi d|b

– i|a şi i|b, atunci i|d.

Exemple de Cel mai mare divizor comun, c.m.m.d.c.:

* Hint: se înmulţesc doar factorii comuni la puterea cea mai mică.

– c.m.m.d.c. (14, 35) = 7

– (55; 88) = 11

– cmmdc (36; 51) = 3.

Numere prime între ele

Două numere naturale a şi b se numesc prime între ele, dacă cel mai mare divizor comun al lor este egal cu 1. Două numere prime între ele se mai numesc şi relativ prime sau coprime.

Exemple de Numere prime între ele, coprime:

– 3 şi 7

– 7 şi 9 – (9 nu este un număr prim, ci doar coprim cu 7).

Divizori comuni (Cel mai mare divizor comun, Numere prime între ele), Multipli comuni (Cel mai mic multiplu comun)

Multipli comuni

Cel mai mic multiplu comun

Mulţimea multiplilor unui număr natural nenul este infinită.

Mulţimea multiplilor comuni a două numere naturale, nenule, este şi ea infinită, deoarece conţine cel puţin produsul numerelor şi toţi multiplii acestuia.

Definiţie

Numărul natural m este cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale a şi b dacă satisface simultan condiţiile:

– m este divizibil cu a şi b;

– orice alt multiplu al numerelor a şi b este divizibil cu m.

Cel mai mic multiplu comun al numerelor a şi b se notează c.m.m.m.c.[a,b] sau [a,b].

[a,b] = m dacă şi numai dacă:

– a|m şi b|m

– a|M şi b|M, atunci m|M.

Exemple de Cel mai mic multiplu comun, c.m.m.m.c.:

* Hint: se înmulţesc toţi factorii la puterea cea mai mare.

– c.m.m.m.c. [3, 5] = 15

– [15; 25] = 75

– cmmmc [16; 42] = 336.