Question

Aflati aria unui triunghi:

a) Echilateral cu latura de 6 cm.
b) isoscel cu laturile congruente de 15 cm si baza de 18 cm.

Answer 1

a) Desenez  Δ ABC - echilateral.

Duc înălțimea AD, cu D pe BC.

Înălțimea este și mediană, deci BD = DC=BC/2 = 6/2 = 3 cm

În triunghiul ADC, dreptunghic în D, cunosc AC = 6cm și DC = 3cm.

Aplic teorema lui Pitagora  în  ΔADC :

AD² = AC² - DC² = 6² - 3² = 36 - 9 = 27 ⇒ AD = √27 = √9·3=3√3cm

$\it \mathcal{A}_{ABC} = \dfrac{baza\ \cdoit\ \^{i}naltimea}{2} = \dfrac{BC\cdot AD}{2} = \dfrac{6\cdot3\sqrt3}{2}= 3\cdot3 \sqrt 3 = 9\sqrt 3$

-------------------------------------------------------------------------------


Există o formulă specifică triunghiului echilateral:

$\it \mathcal{A}_{ABC} = \dfrac{\ell^2\sqrt 3}{4}$

Aplic această formulă :

$\it \mathcal{A}_{ABC} = \dfrac{6^2\sqrt 3}{4} = \dfrac{36\sqrt3}{4} = 9\sqrt3 cm^2$

---------------------------------------------------------------------------

Pot aplica formula ariei cu ajutorul sinusului:

[tex]\it \mathcal{A}_{ABC} = \dfrac{AB\cdot AC \cdot sinA}{2} = \dfrac{6\cdot 6 \cdot sin60^o}{2} = 3\cdot6\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} = \\\;\\ \\\;\\ 3\cdot3\sqrt3 =9\sqrt3 cm\ ^2[/tex]

-------------------------------------------------------------------

Pot aplica formula lui Heron: 

[tex]\it \mathcal{A} = \sqrt{\it p(p-a)(p-b)(p-c)} \\\;\\ \\\;\\ p\ = \ semiperimetrul \Longrightarrow p = \dfrac{\mathcal{P}}{2} = \dfrac{3\cdot 6}{2} = 9 [/tex]

[tex]\it p-a=p-b=p-c = 9-6=3 \\\;\\ \mathcal{A} = \sqrt{9\cdot3\cdot3\cdot3} =\sqrt{9\cdot9\cdot3} = 3\cdot3\cdot\sqrt3 = 9\sqrt3 cm\ ^2[/tex]


***

b) Desenez  Δ ABC - isoscel,  [AB] ≡ [AC].

Duc înălțimea AD, cu D pe BC.

Înălțimea este și mediană, deci BD = DC=BC/2 = 18/2 = 9cm

În triunghiul ADC, dreptunghic în D, cunosc AC = 15cm și DC = 9cm.

Aplic teorema lui Pitagora  în  ΔADC :

AD² = AC² - DC² = 15² - 9² = (15 - 9)(15 + 9) = 6·24 = 6·6·4 = 36·4 ⇒

⇒ AD= √36·4 = 6·2 = 12 cm.

Aria = (BC · AD)/2 = (18·12)/2 = 9·12 = 108 cm²

Observație:

Se poate aplica formula lui Heron, care exclude determinarea înălțimii AD.

***