Question

Aflați câte fructe sunt intr-un cos, stiind că, dacă le grupăm câte 5 mai rămân 3, dacă le grupam câte 6 mai rámán 4, iar numărul lor este cel mult 80.​

Answer 1

Răspuns:

28 sau 58 de fructe

Explicație pas cu pas:

Notăm cu x numărul fructelor.

Conform enunțului,  x împărțit la 5 dă rest 3, iar împărțit la 6 dă rest 4. Observăm că în ambele cazuri, restul este mai mic cu 2 decât împărțitorul. Asta înseamnă că dacă adăugăm 2 la x vom obține restul 0 la ambele împărțiri. Adică x+2 este multiplu comun pentru 5 și 6.

cmmmc (5, 6) = 30.

x + 2 = 30 ⇒ x = 28

Următorul multiplu comun al lui 5 și 6 este 30×2 = 60

x + 2 = 60 ⇒ x = 58

Următorul multiplu comun al lui 5 și 6 este 30×3 = 90

x + 2 = 90 ⇒ x = 88, dar nu se respectă condiția ca x ≤ 80

Așadar, avem două soluții: 28 și 58.

Answer 2

Răspuns:

28 sau 58

Explicație pas cu pas:

notăm cu x numărul grupelor de 5 și cu y numărul grupelor de 6:

$5x + 3 \leqslant 80 \iff 5x \leqslant 77 \iff x \leqslant \frac{77}{5} = 15 \frac{2}{5} \\ \implies 0 \leqslant x \leqslant 15$

→ pot fi maxim 15 grupe de câte 5 fructe

$6y + 4 \leqslant 80 \iff 6y \leqslant 76 \iff y \leqslant \frac{76}{6} = 12 \frac{4}{6} \\ \implies 0 \leqslant y \leqslant 12$

→ pot fi maxim 12 grupe de câte 6 fructe

=>

$5x + 3 = 6y + 4 \\ 5x = 6y + 1 \: \implies (6y + 1) \ \vdots \ \: 5$

se verifică pentru valorile lui y și rezultă:

$\implies y \in \{4; 9\}$

dacă:

$y = 4 \implies 6 \cdot 4 + 4 = 24 + 4 = \bf 28$

→ în coș pot fi 28 fructe

dacă:

$y = 9 \implies 6 \cdot 9 + 4 = 54 + 4 = \bf 58$

→ în coș pot fi 58 fructe