Question

Aflati cate numere de forma abcabcd sunt divizibile cu 9 si cu 10.

Answer 1

Răspuns:

100

Explicație pas cu pas:

a,b,c,d sunt cifre în baza 10, a ≠ 0

$\overline {abcabcd} \ \ \vdots \ \ 10 \implies d = 0$

$\overline {abcabc0} \ \ \vdots \ \ 9 \implies (a + b + c + a + b + c) \ \ \vdots \ \ 9 \\ 2 \cdot (a + b + c) \ \ \vdots \ \ 9 \implies (a + b + c) \ \ \vdots \ \ 9$

cazul 1:

a+b+c = 9

1≤a≤9 => 8≤b+c≤0

sunt: 9+8+7+6+...+1 = 45 numere

cazul 2:

a+b+c = 18

1≤a≤9 => 17≤b+c≤9

sunt: 2+3+4+...+9+10 = 54 numere

cazul 3:

a+b+c = 27

9+9+9 = 27

=> există 45 + 54 + 1 = 100 numere, cu proprietatea indicată

Answer 2

Răspuns:

84

Explicație pas cu pas:

Ca sa fie divizibil cu 10, trebuie ca ultima cifra sa fie 0, deci d = 0.

Ca sa fie divizibil cu 9 trebuie ca suma cifrelor numarului sa fie multiplu de 9, adica

2(a+b+c) = M9, deci

a+b+c = M9 si astfel avem posibilitatile:

a b c

1 2 6

1 6 2

2 1 6

2 6 1

6 1 2

6 2 1, adica 3! = 6 triplete pentru cazul 1, 2, 6

3 4 2, inca 6 triplete si aici

5 1 3, inca 6

7 2 1, inca 6

6 8 4, inca 6

7 3 8, inca 6

7 2 9, inca 6

7 5 6, inca 6

8 1 9, inca 6

9 8 1, inca 6

9 7 2, inca 6

9 6 3, inca 6

9 8 1, inca 6

9 5 4, inca 6 si cam astea ar fi, daca nu mi-a scapat careva, deci in total avem:

14 x 6 = 84 numere care satisfac conditia din enunt.