Question

Aflati câte numere din mulțimea {1,2,3 ,...,2016} nu sunt divizibile cu 7, dar sunt divizibile cu 3 și cu 5

Answer 1

problema se poate rezolva in mai multe moduri, in principiu se aplica acelasi rationament:

cum rezolv eu :
impart problema in 3 pasi :
1)aflu cate numere sunt divizibile cu 3 si cu 5.
2) aflu cate numere dintre acestea nu sunt divizibile cu 7.
3) rezultatul.

1)
cand ai un sir de nr consecutive(incepand cu 1) si vrei sa afli cate nr sunt divizibile cu x, pur si simplu imparti cel mai mare numar(in cazul acesta 2016) cu x(in cazul nostru 3),iar partea intreaga a rezultatului este solutia cautata.
ex: 2021:3 =673  rest 2 (partea intreaga este 673)
 avem :
2016:3 =672 (numere divizibile cu 3)
2016:5=403 rest 1 , adica 403 nr divizibile cu 5.
deci avem 672 nr divizibile cu 3 si 403 nr divizibile cu 5
! eroarea in calcul apare atunci cand se aduna numerele divizibile cu 3 cu cele divizibile cu 5 si se specifica ca rezultatul este numarul de numere divizibile cu 3 si 5. 
numerele divizibile cu 3 sunt : {3,6,9,12,15,....30,....2010,...}
nr divizibile cu             5 sunt : {      5,10,15,30,........2010,...}
daca observi unele numere se repeta, de fapt se repeta numerele ce sunt divizibile si cu 3 si cu 5, adica numerele divizibile cu 15.
*deci pentru a afla nr divizibile cu 3 si cu 5, adunam cele 2 rezultate si scadem numarul numerelor divizibile cu 15(pt ca 3*5=15) .
2016:15=134 rest 6, deci 134 de nr divizibile cu 15 =>
672+403-134=941 (nr divizibile cu 3 si cu 5)
!! este diferenta intre a zice :
"nr divizibile cu 3 si cu 5"  si "nr divizibile si cu 3 si cu 5)

2) deci am 941 de numere divizibile cu 3 si cu 5 si vreau sa vad cate numere dintre acestea nu sunt divizibile cu 7.
in cazul nostru, deci, trebuie sa vad cate numere sunt divizibile cu 21(pt ca 3*7), cu 35(5*7).

2016:35=57 rest  21 , deci 57 numere divizibile cu 35
2016:21=96 (nr divizibile cu 21)

am avea 
=> 57+96=153 
si din nou, cand am avem numerele divizibile cu 35 si cele divizibile cu 21, unele dintre aceste numere apar de 2 ori ( ex 105,210,...) numerele de forma 3*5*7 , deci la rezultatul nostru trebuie sa scadem numerele divizibile si cu 3 si cu 5 si cu 7, adica 3*5*7=105
2016:105=19 rest 21 
=> avem 153-19=134 

3) 941-134=807 (nr divizibile cu 3 si cu 5 dar nedivizibile cu 7)