Question

Aflati cate zerouri are la sfarsit numarul A , unde :
a) A = ( 4²· 3⁵ · 16³ · 25⁵) · ( 3⁴ · 5¹⁰ · 2¹⁵) ;
b) A = 1² · 2² · 3² · 5² · ... · 99² · 100².

Answer 1

a)
Vom lua pe rand parantezele, vom vedea in cate zerouri se termina fiecare paranteza, si la final, adunam numarul de zerouri din fiecare paranteza pentru rezultatul final.
Vom scrie pentru fiecare paranteza DOAR puterile lui 2 si 5.
Prima paranteza are 25 la puterea a 5a, si folosind reguli de calcul cu puteri, obintem 5 la puterea a 10a.
Pentru puterile lui 2 avem odata 4 la puterea a 2a care inseamna 2 la puterea a 4a si apoi avem 16 la puterea a 3a care inseamna 2 la puterea a 12a, deci adunand, in prima paranteza avem 2 la puterea a 16 inmultit cu 5 la puterea a 10a, ceea ce inseamna ca in prima paranteza avem 10 zerouri (se alege din exponentul lui 2 sau lui 5, exponentul mai mic).
Cu aceeasi logica, in a doua paranteza avem 5 la puterea a 10a inmultit cu 2 la puterea a 15a, ceea ce inseamna ca in a 2a paranteza avem 10 zerouri.
Adunam zerourile din cele 2 paranteze si obtinem 20 de zerouri.
b)Vom scrie acest produs astfel:
$(1\cdot2\cdot3...\cdot100)\cdot(1\cdot2\cdot3...\cdot100)$
Vom aduna zerourile din cele 2 paranteze.
Fiind identice, vom face pentru una si vom inmulti cu 2.
Avem paranteza
1x2x3...x100
Si vrem sa stim in cate zerouri se termina.
Avem o formula, care spune ca numarul de zerouri in care se termina inmultirea 1x2x3...x100 este egal cu
$[ \frac{100}{5}] + [\frac{100}{5^2}] = 24 \\ Notatia\ [ \frac{a}{b} ]\ inseamna\ catul\ impartirii\ lui\ a\ la\ b.$
Defapt inseamna partea intreaga a acelei fractii, dar in cazul nostru e acelasi lucru.
Deci prima paranteza da 24 de zerorui, a doua fiind identica da 24 de zerouri, deci in total 48 de zerorui.
Formula de mai sus pe caz general este
$[ \frac{a}{5} ]+[ \frac{a}{5^2} ] +[\frac{a}{5^3} ]+...+[ \frac{a}{5^n} ]$
$Cu\ grija\ ca\ 5^n \leq a.$