Question

Aflați cel mai mare număr de unghiuri formate în jurul unui punct astfel încât măsurile lor, exprimate în grade, să fie numere naturale impare consecutive.​

Answer 1

Răspuns:

Cel mai mare număr de unghiuri formate în jurul unui punct  = 18

Explicație pas cu pas:

1. Suma masurilor unghiurilor din jurul unui punct este de 360°

2.Pentru a imparti 360° la un numar de unghiuri ,

acest numar trebuie sa fie un numar par , deoarece daca ar fi impar

masurile unghiurilor nu ar mai fi impare.

3.Numarul la care impartim pe 360 trebuie sa fie mai mic decat numarul

rezultat din impartire.

4.Exemple :

360°:2 = 180° => 2 unghiuri cu masuri impare 179° , respectiv 181°

360°:4 = 90° => 4 unghiuri cu masuri impare 87° , 89° , 91° , 93°

---------

360° : 18 = 20° => 18 unghiuri cu masuri impare :

3° , 5° , 7° , 9° , 11° , 13° , 15° , 17° , 19° ;

21° , 23° , 25° , 27° , 29° , 31° , 33° , 35° , 37°

3+5+7+.....+37 = (37+3)·[(37-3):2+1]:2 = 20·18 = 360

-----------

Daca impartim 360 la 20 ar rezulta 18° =>

=>20 unghiuri cu masuri impare

Ar trebui sa punem in plus numerele 1 si respectiv 39

=> 1+3+5+7+....+39 = (39+1)·[(39-1):2+1]:2 = 20·20 = 400° ,

suma nu ar mai 360°

=> Cel mai mare număr de unghiuri formate în jurul unui punct =18

Answer 2

Răspuns:

18

Explicație pas cu pas:

vom avea o progresie de masuri a unghiurilor cu valori impare consecutive.

Deoarece suma este 360°, ⇒ numarul de termeni, n=par, suma cu numar par de termeni impari este para. Aplicam formula sumei

$S_{n}=\frac{n*(2*a_{1}+(n-1)*r)}{2}=360,~unde ~r=2.$

Deci n·(2·a1+(n-1)·2)=2·360, ⇒n·2·(a1+n-1)=2·360 |:2, ⇒n·(a1+n-1)=360.

Am spus ca n este par. Descompunem pe 360 in factori

360=2³·3²·5, dar n, numarul de termeni tr sa fie maxim si par. Cautam pentru n, cei mai mari divizori pari a numarului 360, cu conditia a1>0 si impar ce satisfac relatia n·(a1+n-1)=360.

valoarea n=2³·5=40, nu convine, deoarece vom avea 40·(a1+39)>360

valoarea n=2²·9=36, nu convine, deoarece vom avea 36·(a1+35)>360

valoarea n=2³·3=24, nu convine, deoarece vom avea 24·(a1+23)>360

valoarea n=2²·5=20, nu convine, deoarece vom avea 20·(a1+19)>360

valoarea n=2·9=18, convine, deoarece vom avea 18·(a1+17)=360, de unde a1=3. Deci 3+5+7+...+37=360, unde suma are 18 termeni.