Question

Aflați cifrele a și b știind că ab(numere, nu axb)+ba(numere), respectiv ab(numere)-ba(numere) sunt pătrate perfecte.

Answer 1

$\overline{ab}+ \overline{ba}=10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b). \\ \\ Deci~11(a+b)~este~patrat~perfect \Rightarrow a+b=11k^2~(k \in N).~Dar~a~si~b \\ \\ sunt ~cifre~nenule \Rightarrow 2 \leq a+b \leq 18 \Leftrightarrow 2 \leq 11k^2 \leq 18 \Rightarrow k=1.~Deci \\ \\ a+b=11. \\ \\ \overline{ab}- \overline{ba}=10a+b-(10b+a)=10a+b-10b-a=9a-9b=9(a-b). \\ \\ Deci~9(a-b)~este~patrat~perfect \Rightarrow a-b~este~patrat~perfect,~insa \\ \\ a-b \leq 9-1=8 \Rightarrow a-b \in \{0,1,4 \}.$

$Deoarece~a+b=11~este~impar,~rezulta~ca~a-b~este~de~asemenea \\ \\ impar \Rightarrow a-b=1. \\ \\ Din ~a+b=11~si~a-b=1~rezulta~\boxed{a=6}~si~\boxed{b=5}.$