Question

Aflaţi două numere naturale care au media aritmetică egală cu 13 şi media geometrică egală cu 12.​

Answer 1

Răspuns:

cele două numere sunt 8 și 18.

Explicație pas cu pas:

$\frac{a+b}{2} = 13$  ⇒  a + b = 26   ⇒ a = 26-b  (1)

$\sqrt{a*b} = 12$

Cum a și b sunt numere naturale, produsul de sub radical este pozitiv. În acest caz, putem ridica la pătrat ambii membrii ai ecuației:

$(\sqrt{a*b} )^{2} = 12^{2}$  ⇒ a×b = 144 (2)

În ecuația (2) înlocuim pe a conform ecuației (1):

(26-b)×b = 144

-b² + 26b - 144 = 0

Δ = 676 - 576 ⇒ Δ = 100

$b_{1} = \frac{-26+10}{-2} = \frac{-16}{-2}$  ⇒  b₁ = 8

$b_{2} = \frac{-26-10}{-2} = \frac{-36}{-2}$   ⇒ b₂ = 18

Știind pe b, din ecuația (1) îl determinăm pe a:

a₁ = 26 - 8 ⇒ a₁ = 18

a₂ = 26 - 18 ⇒ a₂ = 8

Se observă că avem două soluții cu aceleași numere:

când a = 8, b = 18, iar când a = 18, b = 8