Question

Aflati forma generala a numerelor naturale n pentru care fractia $\frac{2n+3}{7n+8}$ este reductibila,apoi simplificati-o.
Va rog mult ajutati-ma!

Answer 1

fie "d" divizorul comun al numitorului si numaratorului, rezulta 
d/7n+8 si d/2n+3, sau d/14n+16 si d/14n+21, sau d/(14n+21-14n-16, sau d/5
Deci putem scrie 2n+3=5a si 7n+8=5b, unde a,b apartin lui N, inmultim pe prima cu 3 si facand diferenta membru cu membru rezulta 7n+8-6n-9=5b-15a, sau 
n-1=5(b-3a), sau n-1=M5(multiplu de 5), rezulta n=1+M5
-pt M5=0 rezulta n=1 si fractia devine 5/15=1/3
-pt M5=5, rezulta n=6 si fractia devine 15/50=3/10
-pt M5=15, rezulta n=16 si fractia devine 35/120=7/24   samd

Answer 2

Fie d un divizor comun cu care se simplifica numaratorul si numitorul
d∈N-{1}
dI2n+3⇒dI7*(2n+3)⇒dI14n+21
dI7n+8⇒dI2*(7n+8)⇒dI14n+16
dI(14n+21)-(14n+16)⇒dI5⇒d∈{1,-1,5,-5}
Evident 1,-1 si -5 sunt eliminate
Astfel:
d=5
Studiem din punct de vedere al divizibilitatii cu 5:
M5+{0,1,2,3,4}
Cazul 1:
n=M5
(2n+3)/(7n+8)=(2*M5+3)/(7*M5+8)=(M5+3)/(M5+8)
fractia nu se poate simplifica
Cazul 2:
n=M5+1
(2n+3)/(7n+8)=[2*(M5+1)+3]/[7*(M5+1)+3]=(M5+2+3)/(M5+7+3)=
(M5+5)/(M5+10)=M5/M5
fractia se poate simplifica cu 5
Cazul 3:
n=M5+2
(2n+3)/(7n+8)=[2*(M5+2)+3]/[7*(M5+2)+8=(M5+4+3)/(M5+14+8)=
(M5+7)/(M5+22)
fractia nu se poate simplifica
Cazul 4:
n=M5+3
(2n+3)/(7n+8)=[2*(M5+3)+3]/[7*(M5+3)+3]=(M5+6+3)/(M5+21+3)=
(M5+9)/(M5+24)
fractia nu se poate simplifica
Cazul 5:
n=M5+4
(2n+3)/(7n+8)=[2*(M5+4)+3]/[7*(M5+4)+8]=(M5+8+3)/(M5+28+8)=
(M5+11)/(M5+36)
fractia nu se poate simplifica
In concluzie:
n=M5+1
Adica:
n=1,6,11,....