Question

Aflati imaginea functiei f:R⇒R, f(x)=sinx+cosx

Answer 1

Trebuie sa aflam cum variaza functia noastra.
Deci o derivam:

$f'(x)=\cos x - \sin x$

Acum, aflam punctele de extrem:

$\cos x-\sin x=0\\ \\ \Rightarrow \cos x=\sin x \\ \\ \Rightarrow \tan x=1 \\ \\ \Rightarrow x\in \{{\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\}.$

Am luat doar valorile din intervalul $[0,2\pi )$.

Valorile functiei noastre in aceste 2 puncte vor fi extremele, deci trebuie sa le calculam:

$f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.$


$f\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}.$

Asadar, functia este marginita de aceste valori.
Imaginea se scrie: $\text{Im}f=[-\sqrt{2},\sqrt{2}].$