Question

Aflati monotonia functiei
${3x}^{4} - {4x}^{3} - {12x}^{2}$
​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

f(x=3x⁴-4x³-12x², fiind o sumă de funcții elementare continuie, este continuă pe R.

Vom cerceta monotonia funcției, găsind intervale de cfeștere și descreștere a funcției aplicînd derivate întâia și a doua.

f '(x)=(3x⁴-4x³-12x²)'=(3x⁴)'-(4x³)'-(12x²)'=3·(x⁴)'-4·(x³)'-12·(x²)'=3·4x³-4·3x²-12·12x=12x³-12x²-24x

Aflăm punctele critice (puncte de extrem local a funcției), f '(x)=0, ⇒12x³-12x²-24x=0, ⇒12x(x²-x-2)=0, ⇒ x=0 sau x²-x-2=0,  Δ=(-1)²-4·1·(-2)=9, ⇒x=(1-3)/2=-1  sau  x=(1+3)/2=2.

Deci punctele critice (de extrem) sunt:  -1;  0;  2.

Cu ajutorul derivatei de ordinul 2, determin[m tipul punctului de extrem:

f ''(x)=(f '(x))'=(12x³-12x²-24x)'=(12x³)'-(12x²)'-(24x)'=12·(x³)'-12·(x²)'-24·x'=

=12·3x²-12·2x-24·1=12·(3x²-2x-2).

f ''(-1)=12·(3·(-1)²-2·(-1)-2)=12·(3+2-2)>0, deci x=-1 este punct de minim local.

f ''(0)=12·(3·0²-2·0-2)=12·(0-0-2)<0, deci x=0 este punct de maxim local.

f ''(2)=12·(3·2²-2·2-2)=12·(12-4-2)>0, deci x=2 este punct de minim local.

Rezultă intervalele de monotonie:

pentru x∈(-∞,-1]∪[0;2], funcția este monoton descrescătoare, iar

pentru x∈[-1;0]∪[2;+∞), funcția este monoton crescătoare.