Question

Aflati norma vectorului v=3a-b stiind ca || a || = 1, || b || = 2, unghi(a,b) = 30 grade.

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Teorie:

Fie $\vec{v}$ un vector oarecare nenul dintr-un spatiul vectorial nenul.

Definitie: Norma este o funcție care atribuie o marime strict pozitiva fiecarui vector nenul $\vec{v}$ din spatiul vectorial din care face parte.

Observatie: Vectorul nul, prin conventie, are lungimea 0.

Formule:

Fie $\vec{v}$ un vector oarecare nunul dintr-un spatiul vectorial nenul.

• $||\vec{v}||=\sqrt{<\vec{v},\vec{v}>}$

• $||\vec{v}||^2=<\vec{v},\vec{v}>$

Fie $\vec{a}$ si $\vec{b}$ doi vectori nenuli oarecare dintr-un spatiul vectorial nenul.

Definitie: Definim numarul $<\vec{a},\vec{b}>$ ca fiind produsul scalar al vectorului $\vec{a}$ cu vectorul $\vec{b}$, ce este caracterizat de formula: $<\vec{a},\vec{b}>=||\vec{a}||*||\vec{b}||*cos(\prec \vec{a},\vec{b})$.

Formule:

Fie $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ si $\vec{d}$ patru vectori nenuli oarecare dintr-un spatiul vectorial nenul si $\alpha$, $\beta$, $\delta$ si $\epsilon$ patru numere reale nenule.

• $<\vec{a},\vec{b}>=<\vec{b},\vec{a}>$

• $<\alpha \vec{a},\beta \vec{b}>=\alpha \beta <\vec{a},\vec{b}>$

• $<\alpha \vec{a}+ \delta \vec{d},\beta \vec{b}+ \epsilon \vec{e}>=<\alpha \vec{a},\beta \vec{b}>+<\alpha \vec{a},\epsilon \vec{e}>+< \delta \vec{d},\beta \vec{b}>+< \delta \vec{d}, \epsilon \vec{e}>$

Rezolvare:

$||\vec{v}||=\sqrt{<3\vec{a}-\vec{b},3\vec{a}-\vec{b}>}=\sqrt{<3\vec{a},3\vec{a}>+<3\vec{a},-\vec{b}>+<-\vec{b},3\vec{a}>+<-\vec{b},-\vec{b}>}=\sqrt{3*3<\vec{a},\vec{a}>-3<\vec{a},\vec{b}>-3<\vec{b},\vec{a}>+(-1)*(-1)<\vec{b},\vec{b}>}=$$\sqrt{9||\vec{a}||^2-3<\vec{a},\vec{b}>-3<\vec{a},\vec{b}>+||\vec{b}||^2}=\sqrt{9*1^2-6<\vec{a},\vec{b}>+2^2}=$$\sqrt{13-6*||\vec{a}||*||\vec{b}||*cos(\prec \vec{a},\vec{b})}=\sqrt{13-6*1*2*\frac{\sqrt3}{2}}=\sqrt{13-6\sqrt3}$