Matematică, întrebare adresată de tara51, 8 ani în urmă

Aflați numărul 23xy (cu bara deasupra) știind că este produsul a două numere consecutive.

CinevaFaraNume: Singurul numar de forma x(x+1) din intervalul 2300..2400 este 2352

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de CinevaFaraNume

Numarul se poate scrie ca 2300 + 10x + y.

Fie z un numar natural a. i.

$2300 + 10x + y = z (z+1)$

$2300 + 10x + y = z^2 + z\\z^2 + z - 2300 -10x - y = 0\\a = 1\\b = 1\\ c = -(2300 + 10x + y)\\ \Delta = 1 - 4\cdot 1\cdot (-1)\cdot(2300 + 10x + y) = 1 + 4(2300 + 10x + y) = 1 + 9200 + 40x + 4y = 9201 + 40x + 4y = 9201 + 4(10x + y)$

Deoarece ne intereseaza ca z sa fie un numar natural, $9201 + 40x + 4y$ trebuie sa fie un patrat perfect.

Patratele prefecte mai mari decat 9201 si pentru care (p - 9201) e multiplu de 4, si (p - 9201) / 4 < 100 este 9409.

$9409 = 9201 + 4(10x + y)\\ 10x + y = \frac{9409 - 9201}{4} = \frac{208}{4} = 52\Rightarrow x = 5\\y = 2$

Astfel numarul este 2352.

Daca calculam z obtinem 48(dar nu este necesar).

CinevaFaraNume: #include
using namespace std;

int main(){
int x;
for(x = 1; x < 1000; x++)
if (x*x > 9201 && (x*x-9201) % 4 == 0 && (x * x - 9201) / 4 < 100)
cout << x << ' ' << x*x << '\n';
return 0;
}

CinevaFaraNume: Asta e programul cu care am aflat 9409

Răspuns de lucasela

23xy=a(a+1)

23xy<2500=50²

=>a=4b(nr scris in baza 10)=40+b

23xy=(40+b)(40+b+1)

23xy=(40+b)(41+b)

2300+xy=1640+81b+b²

xy=1640-2300+81b+b²

xy=81b+b²-660

xy=b(81+b)-660

b(81+b)>660 => b∈{8; 9}