Question

Aflați numărul de forma abcd (cu linie deasupra), știind că numărul format din primele două cifre este divizibil cu 5 și cu 9 mai mare decât numărul format din ultimele două cifre.

Answer 1

a,b,c,d - cifre

a,b,c,d ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

a ≠ 0 (a este prima cifra si nu poate avea valoarea zero)

cd + 9 = ab

ab ⋮  5 ⇒ b ∈ {0,5} (Criteriul de divizivilitate cu 5: "Un număr este divizibil cu 5 dacă și numai dacă are ultima cifră 0 sau 5")

→ Descompunem in baza 10 relatia cd + 9 = ab si vom avea:

10c + d + 9 = 10a + b

→→ Avem de analizat 2 cazuri in functie de valoarea pe care o poate lua b

• Cazul  I daca b = 0

10c + d + 9 = 10a + 0

9 = 10a - 10c - d ⇒ a > c > d ⇒ d = 1

a, c sunt cifre; a > c; a ≠ 0 ⇒

a = 9⇒9=90-10c-1⇒10c=89-9⇒10c=80 |:10⇒ c = 8;   abcd = 9081  (solutie)

a = 8⇒9=80-10c-1⇒10c=79-9⇒10c=70 |:10⇒ c = 7;   abcd = 8071  (solutie)

a = 7⇒9=70-10c-1⇒10c=69-9⇒10c=60 |:10⇒ c = 8;   abcd = 7061  (solutie)

a = 6⇒9=60-10c-1⇒10c=59-9⇒10c=50 |:10⇒ c = 5;   abcd = 6051  (solutie)

a = 5⇒9=50-10c-1⇒10c=49-9⇒10c=40 |:10⇒ c = 4;   abcd = 5041  (solutie)

a = 4⇒9=40-10c-1⇒10c=39-9⇒10c=30 |:10⇒ c = 3;   abcd = 4031  (solutie)

a = 3⇒9=30-10c-1⇒10c=29-9⇒10c=20 |:10⇒ c = 2;   abcd = 3021  (solutie)

a = 2⇒9=20-10c-1⇒10c=19-9⇒10c=10 |:10⇒ c = 1;   abcd = 2011  (solutie)

a = 1⇒9=10-10c-1⇒10c = 9-9⇒10c = 0 |:10⇒ c = 0;   abcd = 1001  (solutie)

• Cazul  II daca b = 5

10c + d + 9 = 10a + 5

9 - 5 = 10a - 10c - d

10a - 10c - d = 4 ⇒ a > c > d ⇒ d = 6

a, c sunt cifre; a > c; a ≠ 0 ⇒

a = 9⇒4=90-10c-6⇒10c=84-4⇒10c=80 |:10⇒ c = 8;   abcd = 9586  (solutie)

a = 8⇒4=80-10c-6⇒10c=74-4⇒10c=70 |:10⇒ c = 7;   abcd = 8576  (solutie)

a = 7⇒4=70-10c-6⇒10c=64-4⇒10c=60 |:10⇒ c = 8;   abcd = 7566  (solutie)

a = 6⇒4=60-10c-6⇒10c=54-4⇒10c=50 |:10⇒ c = 5;   abcd = 6556  (solutie)

a = 5⇒4=50-10c-6⇒10c=44-4⇒10c=40 |:10⇒ c = 4;   abcd = 5546  (solutie)

a = 4⇒4=40-10c-6⇒10c=34-4⇒10c=30 |:10⇒ c = 3;   abcd = 4536  (solutie)

a = 3⇒4=30-10c-6⇒10c=24-4⇒10c=20 |:10⇒ c = 2;   abcd = 3526  (solutie)

a = 2⇒4=20-10c-6⇒10c=14-4⇒10c=10 |:10⇒ c = 1;   abcd = 2516  (solutie)

a = 1⇒4=10-10c-6⇒10c = 4-4⇒10c = 0 |:10⇒ c = 0;   abcd = 1506  (solutie)

Din cele doua cazuri analizate ⇒ abcd ∈ {1001, 2011, 3021, 4031, 5041, 6051, 7061, 8171, 9081, 1506, 2516, 3526, 4536, 5546, 6556, 7566, 8576, 9586}, respectand cerintele problemei.

Notatii:

≠ - diferit

∈ - apartine

⋮  - divide

꧁      Succes în continuare !  ꧂