Question

Aflaţi numerele întregi n, astfel încât radical 24 n+1 să fie număr natural.
Albastruverde, Getatotan  sper sa vedeti intrebarea!!!

Answer 1

$Trebuie~sa~analizam~resturile~posibile~prin~impartirea~unui~patrat \\ \\ perfect~la~24. \\ \\ Folosim~identitatea~(a \pm b)^2=M_a+b^n. \\ \\ Orice~numar~natural~are~una~din~formele~M_{24} \pm r,~unde~ \\ \\ r \in \{0,1,2,...,12 \}. \\ \\ Pentru~ca~un~patrat~perfect~sa~dea~restul~1~la~impartirea~prin~24,~\\ \\el~nu~trebuie~sa~aiba~divizori~comuni~cu~24.~Vom~analiza,~deci, \\ \\resturile~la~impartirea~prin~24~a~lui~x^2,~unde~x=M_{24} \pm r,~iar \\ \\ r \in \{1,5,7,11 \} .$

$x^2=(M_{24} \pm 1)^2=M_{24}+1 \equiv 1~(mod~24) \\ \\ x^2=(M_{24} \pm5)^2=M_{24} +25 \equiv 1~(mod~24) \\ \\x^2=(M_{24} \pm 7)^2=M_{24}+49 \equiv 1~(mod~24) \\ \\ x^2=(M_{24} \pm 11)^2=M_{24}+121 \equiv 1 ~(mod~24)$

$Asadar,~notand~24n+1=t^2~(t \in N),~avem~ca~t \equiv 1,5,7~sau~11 \\ \\ (mod~24).$

$24n+1 \geq 0 ,~n \in Z \Rightarrow n \in N. \\ \\ 24n+1=t^2 \Rightarrow n= \frac{t^2-1}{24}. \\ \\ Solutie:~ n= \frac{t^2-1}{24},~unde~t \equiv 1,5,7~sau~11~(mod~24).$