Question

Aflati numerele naturale a si b stiind ca
[a;b] - (a;b) = 34 adica cel mai mic multiplu comun al nr a si b - cel mai mare divizor comun al nr. a si b = 34
aflati numerele a si b
clasa a VI-a

Answer 1

Vom analiza urmatoarele 2 cazuri:

1) Numarul mai mare NU este multiplul numarului mai mic

2) Numarul mai mare este multiplul numarului mai mic adica [a,b]=a (nu conteaza daca e a sau b, rezolvarea e aceeasi din cauza comutativitatii)


Cazul 1)
Vom presupune ca x este cel mai mic divizor al numerelor a si b.
Asta inseamna ca:
$a=k\cdot x \\ b=p\cdot x \\ a,b,k,p,x\in N^*$
Cum numarul mai mare dintre ele nu este multiplul celuilalt, adica
$[a,b]\notin \{a,b\}$
Atunci avem relatia
$[a,b]=k\cdot p\cdot x$
Din problema stim ca
[a,b]-(a,b)=34 asta inseamna ca
$k\cdot p\cdot x-x=34 \\ x(k\cdot p-1)=34 \\ \hbox{Cum x,k,p sunt numere intregi inseamna ca x este divizor al lui 34} \\ \hbox{si } k\cdot p-1\ \hbox{este divizor al lui 34.}$
De mentionat, sunt divizori pereche ai lui 34.
Avem urmatoarele sanse:
x=34 si kp-1=1
sau
x=1 si kp-1=34
sau
x=17 si kp-1=2
sau
x=2 si kp-1=17
Subcazul a) x=34 si kp=2 deci fie k=1 si p=2, fie k=2 si p=1
Inseamna ca numerele sunt 68 si 34
Desi teoretic solutia aceasta ar trebui sa fie eliminata pentru ca numarul mai mare este multiplul numarului mai mic, o pastram pentru ca ea verifica cerinta.

Subcazul b) x=1 si kp=35 Deci fie avem k=1 si p=35, fie k=35 si p=1, fie k=5 si p=7, fie k=7 si p=5.
Inseamna ca avem perechile de numere (1,35) si (5,7).
Solutia verifica cerinta.

Subcazul c) x=17 si kp=3 deci fie k=1 si p=3, fie k=3 si p=1.
Inseamna ca numerele sunt 17 si 51.
Desi teoretic solutia aceasta ar trebui sa fie eliminata pentru ca numarul mai mare este multiplul numarului mai mic, o pastram pentru ca ea verifica cerinta.

Subcazul d) x=2 si kp=18 deci fie k=1 si p=18, fie k=18 si p=1, fie k=3 si p=6, fie k=6 si p=3, fie k=9 si p=2 fie k=2 si p = 9.
Inseamna ca perechile de numere sunt: (2,36) (6, 12 -> nu verifica) (4,18)
Raman perechile (2,36) si (4,18)

Din cazul 1) am obtinut solutiile (34,68) (1,35) (5,7) (17,51) (2,36) si (4,18).

Cazul 2)
Vom presupune ca a este multiplul lui b.
Deci
$a=n\cdot b;\ n\in N$
Deci (a,b)=b si [a,b]=a
Atunci a-b=34
nb-b=34
b(n-1)=34

Din nou, si b si n-1 sunt divizori pereche ai lui 34.
Avem
b=1 si n-1=34
b=34 si n-1=1
b=2 si n-1=17
b=17 si n-1=2

Adica
b=1, n=35 si avem perechea (1,35)
b=34, n=2 deci avem perechea (34,68)
b=2, n=18 deci avem perechea (2,36)
b=17, n=3 deci avem perechea (17,51)
Solutiile de la acest caz se regasesc in cazul 1.

Raspuns: perechile de numere cerute sunt: (34,68) (1,35) (5,7) (17,51) (2,36) si (4,18).

Answer 2

$Se~stie~ca~cel~mai~mare~divizor~comun~a~doua~numere~naturale \\ \\ il~divide~pe~cel~mai~mic~multiplu~comun~al~acelor~numere. \\ \\ (a,b)~|~[a,b]. \\ \\ De~asemenea~este~cunoscuta~relatia ~\boxed{(a,b) \cdot [a,b]=ab}~. \\ \\ Asadar~putem~considera~k \in N~a.i.~[a,b]=k \cdot (a,b). \\ \\ Notez~in~continuare~(a,b)=d \Rightarrow [a,b]=dk. \\ \\ Rescriem~relatia~initiala: \\ \\ dk-d=34 \Leftrightarrow d(k-1)=34.$

$Deci~d \in D_{34}= \{1;2;17;34\}. \\ \\ Cazul~1:~d=1. \\ \\ Obtinem~k-1=34 \Rightarrow k=35. \\ \\ Deci~trebuie~sa~gasim~numerele~naturale~a~si~b~cu~proprietatea~ca \\ \\ (a,b)=1~si~[a,b]=35. \\ \\ (a,b) \cdot [a,b]=a \cdot b \Leftrightarrow ab=35. \\ \\ Rezulta~ \boxed{(a;b) \in \{(1;35),(5;7),(7;5),(35;1)\}}.$

$Cazul~2:~d=2. \\ \\ Obtinem~k-1=17 \Rightarrow k=18. \\ \\ Deci~(a,b)=2~si~[a,b]=36. \\ \\ (a,b) \cdot [a,b]=ab \Leftrightarrow ab=72. \\ \\ Rezulta~\boxed{(a;b) \in \{(2;36),(4;18),(18;4),(36;2) \}}.$

$Cazul~3:~d=17. \\ \\ Obtinem:~k=3 \Rightarrow [a,b]=51. \\ \\ Deci~(a,b)=17~si~[a,b]=51.~(ab=867) \\ \\ Rezulta~ \boxed{(a;b) \in \{(17;51),(51;17) \}}.$

$Cazul~4:~d=34. \\ \\ Obtinem~[a,b]=68. \\ \\ Deci~(a,b)=34~si~[a,b]=68.~(ab=2312). \\ \\ Rezulta~\boxed{(a;b) \in \{(34;68),(68;34)\}}.$

$Solutiile~sunt~in~chenarele~de~mai~sus.$