Question

Aflati numerele naturale a si b stiind ca [a,b] este de 15 ori mai mare decat (a,b) si 5a+3b=150

Answer 1

5a divizibil cu 5
150divizibil cu 5
⇒3b divizibil cu 5, cum (3,5)=1⇒ b divizibil cu 5...atunci b=5d


analog 3b divizibil cu 3, 150 divizibil cu 3 ⇒deci 5a divizibil cu 3
cum (5,3)=1⇒ a divizibilcu 3..atunci a=3c


5a+3b =150 devine
15c+15d=150
c+d=10
si
ab=5d*3c=15cd
15cd=15(a,b)²

cd=(a,b)²
cd e patrat perfect
1*9 sau2*8 si5*5 (sunt patratte perfecte la care suma factorilor este 10)

1si9
a=3c sib=5d
a=3*1=3   b=5*9=45 convine  5*3+3*45=15+135=150 verifica
(a,b)=3 si [a;b]=45 verifica 45:3=15

2si8
a=2*3=6 b=5*8=40          5*6+3*40=150verifica
(a,b)=2 si [a;b]=120 nu verifica 120:2=60≠15

5si5
a=5*3=15 b=5*5=25......5*15+3*25=75+75=150 verifica
(a,b)=5 [a;b]=75  verifica 75:5=15

deci 2 solutii care verifica
a=3 b=45
si
a=15 b=25