Question

Aflați numerele naturale n pentru care
${5}^{2n + 1} - {5}^{n} + 1$
este patrat perfect ​

Answer 1

Răspuns: n=1

Mod de rezolvare:

Dacă ${5}^{2n+1} - 5^n +1 = k^2$ cu k ∈ N, atunci k este impar.

Avem $5^n(5^{n+1} -1)=(k-1)(k-1)$.

Cum k-1 si k+1 sunt numere pare consecutive, cel mai mare divizor comun al lor este 2, deci cele doua numere trebuie să fie $2*5^n$ si  $\frac{5^{n+1}-1}{2}$  .

Într-adevăr, n=0 nu convine, iar n≥1 implică k≥11.

Atunci   $\frac{k+1}{k-1} = 1 + \frac{2}{k-1} \leq 1 + \frac{2}{10} = \frac{6}{5}$

Daca k-1 si k+1 ar fi  $5^n * 2p$ si  $\frac{5^{n+1}-1}{2p}$ , cu p≥2, atunci raportul lor ar fi

$\frac{5^n * 4p^2}{5^{n+1}-1}$  > $\frac{4p^2}{5} \geq \frac{16}{5} > \frac{6}{5}$

Mai mult, cum  $2*5^n < \frac{5^{n+1}-1}{2}$ , trebuie să avem k-1=$2*5^n$ si k+1= $\frac{5^{n+1}-1}{2}$

Prin scădere obținem că  $\frac{5^{n+1}-1}{2}$ - $2*5^n$ = 2, de unde rezultă imediat că n=1.

Reciproc, pentru n=1, numărul ${5}^{2n+1} - 5^n +1 = 121 = 11^2$ este într-adevăr pătrat perfect, deci n=1 este singura soluție a problemei.