Question

Aflaţi numerele nenule a, b şi c, ştiind că 0,125a = 0,25b² = 0,5c³ şi abc = 2^8​

Answer 1

Răspuns:

a = 32

b = 4

c = 2

Explicație pas cu pas:

$0,125a = 0,25b^{2} = 0,5c^{3} = k$  

Observație: cum 0,25b² este un număr pozitiv, înseamnă că și 0,125a și 0,5c³ sunt numere pozitive, deci și k este pozitiv.

Din egalitățile de mai sus rezultă:

$a = \frac{k}{0,125} = \frac{1000k}{125} = 8k$

$b^{2} = \frac{k}{0,25} = \frac{100k}{25} = 4k$  ⇒  $b = 2\sqrt{k}$

$c^{3} = \frac{k}{0,5} = 2k$   ⇒  $c = \sqrt[3]{2k}$

a×b×c = 2⁸  este echivalent cu:

$8k*2\sqrt{k} *\sqrt[3]{2k} = 2^{8}$

Cum ambii termeni sunt pozitivi, îi ridicăm la puterea a 6-a:

$8^{6} *k^{6} *2^{6} *k^{3} *(2k)^{2} = 2^{48}$

$2^{18} *k^{6} *2^{6} *k^{3} *2^{2} *k^{2} = 2^{48}$

$2^{26} *k^{11} = 2^{48}$

$k^{11} = 2^{22}$

$k^{11} = (2^{2} )^{11}$

De unde k = 2²  ⇒ k = 4

a = 8k = 8×4 ⇒ a = 32

b = 2√k = 2√4 = 2×2 ⇒ b = 4

c = ∛(2k) = ∛(2×4) = ∛8 ⇒ c = 2

Verificare:

a×b×c = 32×4×2 = 2⁵×2²×2 = 2⁸ - ceea ce corespunde enunțului, deci calculele noastre au fost corecte.