Aflați numerele prime a,b,c știind ca 2^a+ 3^b = 28c + 2001
Răspunsuri la întrebare
2^a + 3^b = 28c + 2001
Avem o ecuatie si 3 necunoscute.
EXPLICATII:
Suntem in situatia: "mai putine ecuatii decat necunoscute"
In aceasta situatie avem:
O infinitate de solutii daca necunoscutele sunt reale.
Un numar finit de solutii daca necunoscutele sunt naturale.
Un numar finit mai mic sau mai sigur solutie unica daca
necunoscutele sunt numere prime.
Acesta e cazul nostru.
In aceasta situatie lasam in stanga atatea necunoscute
cate ecuatii avem, iar pe celelalte le trecem in dreapta impreuna
cu termenul liber.
Rezolvam ecuatia sau sistemul de ecuatii
pentru necunoscutele din stanga egalului si ajungem sa scriem
necunoscutele din stanga in functie de necunoscutele din dreapta.
Daca necunoscutele sunt numere reale rezultatul ramane asa,
eventual dam cateva valori necunoscutelor din dreapta
si obtinem cateva solutii si specificam ca sunt o infinitate de solutii.
Daca necunoscutele sunt naturale dam valori
pana obtinem toate solutiile.
Daca necunoscutele sunt numere prime dam valori
pana obtinem solutia, dar mai facem cautari pentru a verifica
daca mai e vreo solutie.
REZOLVARE:
2^a + 3^b = 28c + 2001
Alegem necunoscuta c sa ramana in stanga egalului.
28c = 2^a + 3^b - 2001
c = (2^a + 3^b - 2001) / 28
Dam valori numere prime lui a si b.
Iintuitiv il aleg pe a astfel incat 2^a sa fie mai mare decat 2001.
Consider ca, acum in epoca digitala, puterile lui 2 pana 2^10 trebuie cunoscute de elevi ca pe tabla inmultirii.
2^10 = 1024 < 2001
Cautam urmatorul numar prim dupa 10 care este 11.
2^11 = 2 × 2^10 = 2 × 1024 = 2048 > 2001
Pentru b incepem cu cel mai mic numar prim.
b = 2
3^b = 3^2 = 9
Calculam pe c si daca c = numar prim, atunci am gasit o solutie.
c = (2^a + 3^b - 2001) / 28
c = (2^11 + 3^2 - 2001) / 28
c = (2048 + 9 - 2001) / 28
c = (2057 - 2001) / 28
c = 56 / 28
c = 2
Avem o solutie:
a = 11; b = 2; c = 2
Am mai cautat dand valori la a si b pana cand am ajuns
cu 2^a si 3^b la numere cu mai mult de 9 cifre.
Chiar daca ar mai fi o solutie la numere foarte mari
nu ar fi relevanta pentru o problema scolara pentru care
nu nu se poate folosi calculatorul.
In concluzie consider ca solutia: