Question

Aflati numerele reale a si b care verifica relatia : $\sqrt{a^{2}+6a+34 }$ + $\sqrt{b^2 - 8a +25}$ ≤ 8

Answer 1

√((a+3)²+25) +√((b-4)²+9)≤8
dar
√((a+3)²+25)≥√25=5, ptca (a+3)²≥0
si
√((b-4)²+9)≥√9=3 pt ca (b-4)²≥0
deci
√((a+3)²+25) +√((b-4)²+9)≥5+3=8 (1)
dar cerinta este ca
√((a+3)²+25) +√((b-4)²+9)≤8  (2)

atunci, din (1) si (2)⇒
√((a+3)²+25) +√((b-4)²+9)=8
si deci
a+3=0.................a=-3
si
b-4=0.................b=4

Answer 2

$\it \sqrt{a^2+6x+34} +\sqrt{b^2-8b+25} \leq 8 \ \ \ \ (1)$

Vom analiza fiecare radical :

[tex]\it \sqrt{a^2+6a+34} = \sqrt{a^2+6a+9+25} = \sqrt{(a+3)^2+25} \geq \sqrt{25} =5 \\\;\\ \sqrt{b^2-8b+25} = \sqrt{b^2-8b+16+9} =\sqrt{(b-4)^2 +9} \geq\sqrt9 = 3[/tex]

Adunăm cele două inegalități (între numere pozitive) și rezultă:

$\it \sqrt{(a+3)^2+25} + \sqrt{(b-4)^2 +9} \geq 8 \ \ \ \ (2)$

[tex]\it (1),\ (2) \Rightarrow \sqrt{(a+3)^2+25} + \sqrt{(b-4)^2 +9} = 8 \Rightarrow \\\;\\ \Rightarrow \begin{cases} \it a+3 = 0 \Rightarrow a=-3\\\;\\ \it b-4 = 0\Rightarrow b = 4\end{cases} [/tex]