Question

Aflaţi perechile de numere naturale care satisfac condiţiile:
1)a + b = 126 2) a × b = 150
(a,b) = 7 (a,b) = 5

Answer 1

Punctul a)
a + b = 126
(a,b)=7
Daca cel mai mare divizor comun este 7, vom scrie atunci numere a si b ca fiind produse in care un factor este 7:
a = 7x
b = 7y
Observatie: (x,y) = 1
Numerele x si y sunt prime intre ele, pentru ca daca nu ar fi, atunci cel mai mare divizor al numerelor a si b nu ar mai fi 7.

Ecuatia devine:
7x + 7y = 126
Dam factor comun pe 7
7(x+y)=126
Impartim la 7 in ambele parti
x+y=18
Trebuie sa gasim acum perechi de numere naturale prime intre ele care adunate sa dea 18.
Aceste perechi sunt:
(1,17)(5,13)(7,11)
Revenind la notatia a = 7x si b = 7y obtinem perechile de numere:
(7,119)(35, 91)(49, 77)
--------------------------------------------------
Pentru punctul b)
a x b = 150
(a,b) = 5
Deoarece 5 este cel mai mare divizor comun al acestor numere, vom scrie numerele a si b ca produse in care un factor este 5.
a = 5m
b = 5n
Observatie: (m, n) = 1
NUmerele m si n sunt prime intre ele, altfel cmmdc al numerelor a si b nu ar mai fi 5.
Inlocuind in ecuatie avem:
5m x 5 n = 150
25mn = 150
Impartim la 25 in ambele parti
mn = 6
Perechile de numere prime intre ele care inmultite sa dea 6 sunt:
(1,6)(2,3)
Revenind la notatia a = 5m si b = 5n obtinem perechile de numere:
(5, 30)(10,15)
-------------------------------------
Daca facem verificarea pentru ambele puncte, observam ca sunt respectate conditiile.
Raspuns final:
a) (1,17)(5,13)(7,11)
b) (5, 30)(10,15)
Spor!
Daca e ceva neclar, intreaba in sectiunea de comentarii.