Question

Aflati primitiva functiei
∫eˣ²dx

Answer 1

Nu există o funcție elementară care să reprezinte primitiva lui eˣ². Putem, totuși, să exprimăm această integrală în termenii unei serii infinite folosind expansiunea Taylor.

$e^x = 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+...$

$e^{x^2} = 1+x^2+\dfrac{x^4}{2!}+\dfrac{x^6}{3!}+\dfrac{x^8}{4!}+...$

$\begin{aligned}\int e^{x^2}\, dx &= \Big(x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5\cdot 2!}+\dfrac{x^7}{7\cdot 3!}+\dfrac{x^9}{9\cdot 4!}+\dots\Big)+C \\ &= \sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{x^{2k-1}}{(2k-1)(k-1)!}+C\end{aligned}$