Question

aflati suma ultimelor223 cifre ale nr A=2×4×6.....×2014 + 2015

Answer 1

Salut,

Pentru a rezolva problema, trebuie să aflăm în câte zerouri se termină produsul 2x4x6x...x2014.

Numărul de zerouri este egal cu minimul dintre numărul de apariţii ale factorului prim 2 şi numărul de apariţii ale factorului prim 5, după descompunerea în factori primi a fiecăcui număr în parte. Nu vom face această descompunere, pentru 1007 numere, ar fi absurd.

Numărul de apariţii ale factorului prim 2 este cu mult mai mare decât acela al factorului prim 5, deci este suficient să numărăm de câte ori apare 5 ca factor prim.

Scriem pe 2x4x6x...x2014 = (2x1)x(2x2)x(2x3)x...x(2x1007)=$=2^{1007}\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot 1007.$

Căutăm numărul de apariţii ale lui 5 în produsul: 1x2x3x...x1007:

5 la puterea 1 apare în numerele 5, 10, 15, 20, ..., 1005, deci apare de $\frac{1005-5}{5}+1=201\;ori;$

5 la puterea a doua apare în numerele 25, 50, 75, 100, ..., 1000, deci apare de $\frac{1000-25}{25}+1=40\;de\;ori;$

5 la puterea a treia apare în numărele 125, 250, 375, ..., 1000, deci apare de $\frac{1000-125}{125}+1=8\;ori;$

5 la puterea a patra apare doar în numărul 625, deci apare o singură dată.

Adunăm toate aceste valori obţinute:

201+40+8+1=250 de apariţii ale lui 5.

De aici rezultă că 2x4x6x...x2014 se termină cu 250 de zerouri.

Pentru a obţine numărul A, la produsul 2x4x6x...x2014 trebuie să adunăm 2015, deci numărul A se termină cu 0000...02015, unde acel zero apare de 250 de ori - numărul de cifre ale lui 2015 = 250 - 4 = 246 de zerouri.

Aşadar, ultimele 223 de cifre (223<246) sunt 000...02015, unde zero apare de 223 - 4 = 219 ori.

Suma acestor cifre este 219 x 0 + 2 + 0 + 1 + 5 = 8, acesta fiind răspunsul final.

Green eyes.