Question

Aflati toate nr naturale <= 2000 care impartite pe rand la 24, 30 si 18 dau de fiecare data restul 7

Answer 1

Notam x - nr natural care impartit la 24, 30, 18 da restul 7.
Deci x/24=a, r=7 deci x=24*a + 7
x/30=b, r=7, deci x=30b+7
x/18=c, r=7, deci x= 18c+7
Egalam x, deci 24a+7=30b+7=18c+7
Scadem din toti termenii 7 si rezulta 24a=30b=18c
Impartim totul la 2, ca sa aducem la o forma cat mai simpla. rezulta 12a=15b=9c
Impartim din nou prin 3, rezulta 4a=5b=3c
Acum trebuie sa dam valori si sa vedem daca ceilalti termeni dau numere naturale.
pentru b=0 rezulta a=0, c=0 deci a=b=c, adevarat. inlocuim unul dintre ei in ecuatia cu x si aflam x.
x=24*0 + 7, deci x= 7
pentru b=1 rezulta 4a=5=3c fals, pentru ca 5 nu e multiplul nici lui 4 si nici lui 3
b=2 rezulta 4a=10=3c, din nou fals
putem calcula asa pentru toate valorile, sau putem presupune ce multiplu de 5 se imparte exact si la 4 si la 3.
pentru b=12 rezulta 4a=60=3c, rezulta a=15 si c=20, adevarat. deci inlocuim unul din ei in ecuatia cu x
x= 24*15+7, rezulta x=367
Si de acum e simplu. Doar multiplii lui b=12 vor da a,c numere naturale.
pentru b=24 rezulta 4a=120=3c, a=30,c=40, deci x= 24*30+7=727
b=36 rezulta 4a=180=3c, a= 45, c= 60, deci x= 24*45+7, x=1087
b=48 rezulta 4a=240=3c, a=60, c=80, deci x= 24*60+7, x= 1447
b= 60 rezulta 4a=300=3c, a= 75, c= 100, deci x=24*75+7, x=1807
b=72, rezulta 4a=360=3c, a=90, c= 120, deci x= 24*90+7, x=2167
Dar x<=2000, deci solutia e x apartine {7,367,727,1087,1447,1807}