Question

aflati toate numerele naturale de forma abc care au ultima cifra 0 sau 5 si a la puterea 2 este egal cu 9. Calculati suma numerelor.

Answer 1

Răspuns:

S = 6950

Explicație pas cu pas:

Mai întâi trebuie să aflăm numerele:

a² = 9 și a cifră ⇒ a = 3

b ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

c ∈ {0, 5}

Scriem toate numerele posibile cu cifra sutelor 3, orice cifră pe poziția zecilor, iar cifra unităților 0 sau 5:

300, 305, 310, 315, 320, 325, 330, 335, 340, 345,

350, 355, 360, 365, 370, 375, 380, 385, 390, 395

Observăm că avem 20 de numere:

o singură variantă pentru a × numărul de variante pentru b × numărul de variante pentru c = 1 × 10 × 2 = 20 numere

Suma acestor numere se poate calcula în cel puțin două variante:

I) folosim formula pentru suma unei progresii aritmetice

Seria de numere formează o progresie aritmetică unde:

a₁ = 300

aₙ = 395

n = 20

⇒ S = (a₁ + aₙ) · n / 2 = (300 + 395) · 20 / 2 = 695 · 10 = 6950

II) descompunem numerele în sute, zeci și unități, apoi facem suma totală:

Din aceste 20 de numere, 10 au cifra unităților 0, iar celelalte 10 au cifra unităților 5.

S = 300 + (300 + 5) + (300 + 10) + (300 + 10 + 5) + ... + (300 + 90) + (300 + 90 + 5) = 300 · 20 + (2 · 10 + 2 · 20 + ... + 2 · 90) + (5 · 10) = 6000 + 2 · 10 · (1 + 2 + ... + 9) + 50 = 6050 + 20 · 9 · 10 / 2 = 6050 + 900 = 6950

Suma 1 + 2 + ... + 9 am calculat-o după formula lui Gauss: 9 · 10 / 2 = 45