Question

Aflați ultima cifră a numărului n egal cu 2 la 0 plus 2 la 1 plus 2 la a doua plus 2 la a treia plus puncte puncte 2 la a 12 este numărul din n divizibil cu 10 ​

Answer 1

Răspuns:

$n=2^{0} +2^{1} +2^{2} +2^{3} +...+2^{12} \\uc(n)=1$

n nu este divizibil cu 10

Explicație pas cu pas:

Ne reamintim ultima cifra a puterilor lui 2:

$uc(2^{4k+1}) = 2\\uc(2^{4k+2}) = 4\\uc(2^{4k+3}) = 8\\uc(2^{4k+4}) = 6$

pentru oricare k≥1, k∈N

De aici rezulta ca

$uc(n)=uc(2^{0} )+uc(2^{1} )+uc(2^{2} )+...+uc(2^{12} )\\uc(n)=1+2+4+8+6+...$

Il lasam pe 1 deoparte si grupam cate 4 termeni (2+4+8+6) corespunzatori puterilor lui 2 de ordin 4k+1, 4k+2, 4k+3, 4k+4

Trebuie sa aflam daca la sfarsitul sirului ne mai raman termeni negrupati. Pentru asta trebuie sa aflam de ce forma este ultima putere a lui 2. Impartim pe 12 la 4 si obtinem:

12 : 4 = 4*3, adica 12 este de forma 4k sau (4k+4)

Tragem concluzia ca toti termenii sunt grupati.

Suma unei grupe este:

2+4+8+6 = 20, deci uc(grupa) = 0

uc(n) = 1 + 0 + 0 + ... + 0 = 1

deoarece uc(0) = 1 rezulta ca n nu este divizibil cu 10