Question

Aflati ultimele doua cifre ale numarului : A = 1+ 2^2+ 2^4 +2^6+........ 2^2000
​

Answer 1

Răspuns:

01

Explicație pas cu pas:

A = 1 + 2² + 2⁴ + 2⁶ + ... + 2²⁰⁰⁰ = 1 + 4 + (2²)² + (2²)³ + ... + (2²)¹⁰⁰⁰ = 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4¹⁰⁰⁰

Notăm: S = 4 + 4² + 4³ + ... + 4¹⁰⁰⁰

=> A = 1 + S

Suma S are 1000 termeni

Observăm că:

$U_{2}(4 + 4^{2}) = U_{2}(20) = 20$

$U_{2}(4^{3} + 4^{4}) = U_{2}(4^{2}(4 + 4^{2}) = U_{2}(16 \cdot 20) = U_{2}(320) = 20$

$U_{2}(4^{5} + 4^{6}) = U_{2}(4^{2}(4^{3} + 4^{4}) = U_{2}(16 \cdot 20) = U_{2}(320) = 20$

...

Suma primilor 10 termeni va avea ultimele două cifre 00:

$U_{2}(4 + 4^{2} + 4^{3} + ... + 4^{10}) = U_{2}(5 \cdot 20) = U_{2}(100) = 00$

De la 4 la 4¹⁰⁰⁰ sunt 1000 de termeni care pot fi grupați câte 10. Fiecare grupă de câte 10 termeni are ultimele două cifre 00, deci ultimele două cifre ale acestei sume sunt 00:

$U_{2}(S) = U_{2}(4 + 4^{2} + 4^{3} + ... + 4^{1000}) = U_{2}(100 \cdot 100) = U_{2}(100) = 00$

$\iff U_{2}(A) = U_{2}(1 + S) = U_{2}(1 + 100) = U_{2}(101)$

$\implies U_{2}(A) = 01$