Question

Aflati valoarea maxima a functiei f:R->R, f(x)=2x+1/x^2+1

Answer 1

f(x) = (2x+1)/(x²+1)

f'(x) = [2(x²+1) - 2x(2x+1)]/[(x²+1)²] =

= (-2x²-2x+2)/(x²+1)²

f'(x) = 0 => -2x²-2x+2 = 0 =>

=> x²+x-1 = 0

Delta = 5 => x₁,₂ = (-1±√5)/2

=> f'(x) < 0, când

x ∈ (- ꝏ, (-1-√5)/2) ∪( (-1+√5)/2, +ꝏ)

=> f'(x) > 0 când

x ∈( (-1-√5)/2, (-1+√5)/2)

=> f scade de la până la f((-1-√5)/2) și crește până la f((-1-√5)/2) iar apoi scade din nou.

=> f(x) are maximul ori în f(-ꝏ), ori in

f((-1+√5)/2)

f(-ꝏ) = 0

f((-1+√5)/2) > 0

=> Valoarea maximă a funcției este f((-1+√5)/2)