Question

Aflati valorile lui m astfel incat:

{x∈R | x²-m*x+1=0} ∩ {x∈R | x²+x-m=0} ≠ Ф

Answer 1

Pui   conditia   ca    determinantii celor     2   ecuatii     sa    fie     pozitivi

Δ1=m²-4≥0

m²-4=0

m²=4

m=+/-2

m∈(-∞, -2]U[2,+∞)    (A

Δ2=1+4m≥0=>4m≥- 1

m≤!/4 m∈(-1/4, +∞]   (B

Intersectezi   (A  cu  (B

(-∞, -2]U[2  ,∞)∩(-1/4 , +∞]=(2,+∞]

Pentru    ca      intersectia    celor    2      multimi sa    fie     nevida     trebuie    ca     ecuatiile       sa     aiba cel    putin      o      solutie    reala  comuna, Fie     x1     aceasta solutie reala

In   acest  caz    ecuatiile    sunt    egale

x1²-mx1+1=x1²+x1-m=>

-mx1+1-x1+m=0

(-mx1-x1)+(m+1)=0

-x1(m+1)+(m+1)=0

(m+1)*(-x1+1)=0=>  m+1=0   m=-1    nu     apartine domeniuluilui   m

sau  -x1+1=0   x1=1

Inlocuim    aceasta    valoare    in    ecuatia     2    si    obtinem

1²+1-m=0=>

1+1-m=0

2-m=0

m=2∈ domeniului    lui   m

Intrebari?

Answer 2

Fie r o rădăcină comună celor două ecuații. Vom avea:

r² -mr +1 = r² +r -m ⇒ -mr+1-r+m = 0 ⇒ (m+1) -r(m+1) = 0 ⇒ (m+1)(1 - r) = 0

I) m + 1 = 0 ⇒ m=-1 ⇒ cele două ecuații devin: x² + x + 1 = 0, dar care nu admit soluții reale.

II) 1 - r = 0 ⇒ r = 1 ⇒ ecuațiile devin: 1-m +1=0, respectiv, 1+1-m=0, de unde rezultă m = 2.

Prin urmare, relația din enunț are loc pentru m = 2.