Question

Aflaţi valorile reale ale lui x astfel incât numerele  $3^{x+1} , 3^{2x} , 5* 3^{x} -6$sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice

Answer 1

Pentru ca trei termeni a,b,c sa fie in progresie aritmetică, avem relatia:
2b=a+c
In cazul de fata:
a=3^(x+1)=3•3^x
b=3^(2x)
c=5•3^x - 6
Și avem ecuația:
2•3^(2x)=3•3^x+5•3^x -6
2•3^(2x)=8•3^x - 6
Notăm: 3^x=t.
2t²=8t-6
2t²-8t+6=0
Împărțim ecuația prin 2 și avem:
t²-4t+3=0
Observam descompunerea:
(t-1)(t-3)=0
t-1=0 => t=1
t-3=0 => t=3
Și revenim la x.
Cazul 1:
3^x=1
x=0
Cazul 2:
3^x=3
x=1
x€{0;1}

Answer 2

Trei termeni a, b, c reprezintă termeni consecutivi ai unei progresii

aritmetice dacă termenul din mijloc este egal cu media aritmetică

a termenilor vecini lui.

În cazul nostru, avem:

$\it 3^{2x}=\dfrac{5\cdot3^x-6+3^{x+1}}{2} \Rightarrow (3^x)^2=\dfrac{5\cdot3^x-6+3\cdot3^x}{2}\Rightarrow \\ \\ \\\Rightarrow (3^x)^2=\dfrac{8\cdot3^x-6}{2}\Rightarrow (3^x)^2=\dfrac{\not2(4\cdot3^x-3)}{\not2} \Rightarrow (3^x)^2 =4\cdot3^x-3$

$\it Notez\ \ 3^x=t,\ t>0,\ iar \ ecua\c{\it t}ia\ devine:\\ \\ t^2=4t-3 \Rightarrow t^2-4t+3=0 \Rightarrow t^2-4t+4-1=0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow (t-2)^2-1^2 \Rightarrow (t-2-1)(t-2+1)=0 \Rightarrow (t-3)(t-1)=0\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \begin{cases} \it t-1=0 \Rightarrow t=1 \Rightarrow 3^x=1\Rightarrow x_1=0 \\ \\ t-3=0 \Rightarrow t=3 \Rightarrow \ 3^x=3\Rightarrow \ x_2=1\end{cases}$