Question

Aflati x natural stiind ca fractiile 2x-3/x+1 , 3x-2/x+1 , 3x+2/2x-1 , 7x-3/3x-7 sunt simultan numere naturale.

Answer 1

1) (2x-3)/(x+1)=[(2x+2) -5]/(x+1)=2 - 5/(x+1) ⇒ x+1=5 ⇒ x=4, (x+1=1 nu)
2) (3x-2)/(x+1)=[(3x+3) -5]/(x+1)=3 - 5/(x+1) ⇒ x+1=5 ⇒ x=4, (x+1=1 nu)
3) (3x+2)/(2x-1)=1/2[(6x+4)/(2x-1)]=1/2[3+7/(2x-1)] ⇒2x-1=1, x=1, 2x-1=7, x=4
4) (7x-3)/(3x-7)=1/3[(21x-9)/(3x-7)]=1/3[(21x-49+40)/(3x-7)]=1/3[7+40/(3x-7)] ⇒
3x-7=2, x=3
3x-7=5, x=4
3x-7=8, x=5
restul de variante nu merg.

observam ca pentru fractiile de la 1), 2), 3) si 4) valoarea lui x care satisface conditiile din enunt este x=4
daca urmaresti cu atentie ai sanse mari sa intelegi

Answer 2

(2x-3)/(x+1)∈N ⇔      (x+1) | (2x-3)                                            (1)
                                    (x+1) |(x+1) ⇒ (x+1) | 2(x+1) = 2x+2      (2)
⇒ (x+1) | [(2) -(1)] = 5  ⇒ (x+1) ∈ D5
(3x-2)/(x+1) ∈N  ⇔    (x+1) | (3x-2)                              (3)    
                                    (x+1) | (x+1) ⇒(x+1) | (3x +3)    (4)
⇒(x+1) | [(4) - (3)] = 5 ⇒ (x+1) ∈ D5
(3x+2)/(2x-1) ∈ N  ⇔  (2x-1) | (3x+2)  ⇒ (2x-1) |  (6x+4)    (5)
                                     (2x-1) | (2x-1)  ⇒  (2x-1)  | (6x -3)     (6)
(2x-1) | [(5) - (6)] = 7    2x- 1 ∈ D7
(7x-3)/(3x-7)  ∈ N ⇔  (3x-7) | (7x-3) ⇒ (3x-7) | (21x - 9)   (7)
                                   (3x-7) | (3x-7) ⇒ (3x-7) | (21x - 49)  (8)
(3x-7) | [(7) - (8)] = 40   (3x-7) ∈ D40
x+1 ∈ D5  ⇒ x+1 ∈ {1,5}    x ∈ (0,4}
2x-1 ∈ D7 ⇒ 2x-1 ∈ {1,7}    2x ∈{2,8}    x ∈∈{1,4}
3x-7 ∈ D40  3x-7 ∈ {1,2,4,,5,8,10,20,40}   3x∈{8 ,9,11,12,15,17,27,47}
x ∈{3,4,5,9}
Raspuns :  x = 4