Question

Aflați x nr întreg pentru care fracția (3x+2) / (4x+5) se simplifică cu 7.
Vreau și forma generală.

Answer 1

Răspuns:

S={x€Z | x=7k-3, k€IN}

Explicație pas cu pas:

Pentru ca o fracție sa se simplifice printr-un anumit număr, atunci și numărătorul și numitorul trebuie sa se împartă exact la acel număr.

Știm că fracția se simplifica prin 7. Deci avem:

7|3x+2

7|4x+5

Așadar, ai 3x+2 și 4x+5 sunt multipli de 7.

Scriem primii multipli naturali de 7.

M7={0,7,14,21,28,35,42...}

Daca 3x+2 este multiplu de 7, atunci:

3x+2€{0,7,14,21,28,35,42...}

3x€{-2,5,12,19,26,33,40...}

x€{-2/3,5/3,4,19/3,11,40/3...}

Cum x este întreg, x€{4,11....}.

Procedam analog și cu 4x+5.

4x+5€{0,7,14,21,28,35,42,49...}

4x€{-5,2,9,16,23,30,37,44...}

x€{-5/4,2/4,9/4,4,30/4,37/4,11...}

Cum x este întreg, x€{4,11....}.

Observăm că am obținut aceeași mulțime de soluții. Daca am continua lista, am observa că numerele vor fi aceleași.

Avem o infinitate de soluții, dintre care primele doua sunt 4 și 11.

Putem generaliza.

4=7•1-3

11=7•2-3

Deci o soluție a acestui exercițiu este de forma: 7k-3, k fiind număr întreg.

Notăm S mulțimea de soluții.

S={x€Z | x=7k-3, k€IN}