Question

Aflati x si y: x*y-2y+3x=21

Answer 1

Complicata problema ai aici. Nu sunt multumit de rezolvarea pe care ti-o dau, dar mai elegant de atat nu am reusit sa rezolv problema.

$x*y-2*y+3*x=21$

$x*(y+3)=21+2*y$

$x=\frac{21+2*y}{y+3}$

Avand in vedere ca numerele trebuie sa fie pozitive, vom incepe cu y=0. Facem acest lucru deoarece fractia respectiva trebuie sa dea un numarul natural, si observam ca pentru y=0 exista o solutie in multimea numerelor naturale. Apoi vom incepe sa crestem "y"-ul pana vom observa altceva.

$y=0 => x=\frac{21}{3} => x=7$

$y=1 => x=\frac{23}{4} => x=5,75$ nu este solutie

$y=2 => x=\frac{25}{5} => x=5$

$y=3 => x=\frac{27}{6} => x=4,5$ nu este solutie

Observam ceva important de aici! Ca valorile lui x se vor micsora cu cat valorile lui y se vor mari. Asta inseamna ca nu va trebui sa mergem cu valorile lui "y" pana la infinit (ceea ce era imposibil), ci doar va trebui sa incercam valorile lui x ce ne-au mai ramas pana ajungem la 0. Doar observatia asta ne-a salvat din a solutiona acest exercitiu. Daca se cereau valori dintr-o alta multime, atunci rezolvarea mea ar fi fost neconcludenta. Asadar:

$x=4 => 4=\frac{21+2*y}{y+3} => 4*(y+3)=21+2*y => 4*y-2*y=21-12 => y=\frac{9}{2} => y=4,5$ nu are solutii in multimea numerelor naturale

$x=3 => 3=\frac{21+2*y}{y+3} => 3*(y+3)=21+2*y => 3*y-2*y=21-9 => y=12$

$x=2 => 2=\frac{21+2*y}{y+3} => 2*(y+3)=21+2*y => 2*y-2*y=21-6 => 0=15$ nu are solutii in niciun tip de multime

$x=1 => 1=\frac{21+2*y}{y+3} => y+3=21+2*y => y-2*y=21-3 => -y=18 => y=-18$ nu are solutii in multimea numerelor naturale

$x=0 => 0=\frac{21+2*y}{y+3} => 0=21+2*y => 2*y=-21 => y=-\frac{21}{2}$ nu are solutii in multimea numerelor naturale

Solutiile exercitiului sunt:

x=7; y=0

x=5; y=2

x=3; y=12

Varianta a2a de rezolvare (acum mi-a venit prin minte ceva mai interesant, si poate mai elegant in rezolvare). Vom forta un artificiu de calcul:

$x*y-2*y+3*x=21$

$x*y-2*y+3*x-6=15$

$y*(x-2)+3*(x-2)=15$

$(x-2)*(y+3)=15$

Singurele numere care inmultite sa dea 15 sunt 1*15 si 3*5. Numerele nu pot fi (-1)*(-15) si (-3)*(-5) deoarece x si y trebuie sa fie pozitive. (x-2) ar putea sa dea -1 daca x=1, dar y-ul nu poate lua nicio valoare pozitiva pentru ca paranteza sa fie negativa. Asadar:

$x-2=1 => x=3 => y+3=15 => y=12$

$x-2=3 => x=5 => y+3=5 => y=2$

$x-2=5 => x=7 => y+3=3 => y=0$

$x-2=15 => x=13 => y+3=1 => y=-2$ nu da o solutie viabila

Prin aceasta metoda reuseam sa solutionam x si y chiar si daca erau numere intregi, nu doar naturale. Dar mai mult de atat nu ne duce solutia aceasta, deoarece la fractii pot fi o infinitate de solutii ce pot aparea. La fel si la numere reale.

Si asa am aratat ca solutiile date in prima varianta de rezolvare sunt cele bune, si unicele. Sa ma anunti daca ai ceva intrebari!