Question

Aflati x stiind ca {x}, [x] si x sunt in progresie aritmetica.

Answer 1

Salut,

Conform enunțului, avem că:

2[x] = {x} + x (1).

Știm că 0 ≤ {x} < 1. În relația (1), scriem pe [x] funcție de x și de {x}. În general știm că: x = [x] + {x}, deci [x] = x -- {x}. Punem asta în relația (1):

2(x -- {x}) = {x} + x, sau 2x -- 2{x} = {x} + x, sau x = 3{x}, sau {x} = x/3, deci

0 ≤ x/3 < 1, sau 0 ≤ x < 3, deci x ∈ [0, 3).

Ai înțeles ?

Green eyes.

Answer 2

banuim ca IN ACESTA ordine
 tinem cont ca x= [x]+{x}
cum sunt in progresie aritmetica inseamna ca avem relatiile [x]-{x}=x-[x]
deci 2 ec cu 3 necunoscute
sa vedem de unde gasim o restrictie..probabil din  {x}∈[0;1)


2[x]=x+{x}
2[x]=[x]+{x}+{x}
[x]=2{x}
[x]∈Z⇒2{x}∈Z dar {x}∈[0;1)⇒2{x}∈[0;2) cum 2{x}∈Z⇒2x∈[0;2)∩Z={0;1}


Solutia 1
2{x}=0⇒x=0 si [x]=2*0=0 si x=0+0=0 solutia banala ( da, un sir constant este o progresie aritmetica cu ratia 0)


Solutia 2
2{x}=1⇒{x}=0,5 si [x]=2*0,5=1 si x=0,5+1=1,5

care formeaza o progresie aritmetica cu ratia 0,5


deci x∈{0;1,5} sau S={0;1,5}