Question

Ajutati-ma cu AL 90 va rog!.
Este un exercitiu din culegerea pentru admitere in Universitatea Politehnica Timisoara.

Answer 1

folosesti inegalitatea mediilor si se rezolva usor :)

Answer 2

Soluție:

Condițiile de existență a funcțiilor din enunț:

x > 0 (1);

lgx > 0, deci lgx > lg1, adică x > 1 (2);

lg(lgx) ≥ 0, sau lg(lgx) ≥ lg1, deci lgx ≥ 1, deci x ≥ 10 (3). 

Membrul stâng ia numai valori pozitive, deci membrul drept trebuie să ia numai valori pozitive:

lg(10 + lgx) ≥ 0, deci lg(10 + lgx) ≥ lg1, deci 10 + lgx ≥ 1, sau lgx ≥ --9, adică x ≥ 1/10^9 (4).

Din relațiile (1), (2), (3) și (4) avem că: x ≥ 10.

Pentru x ≥ 10, avem că lgx ≥ lg10, deci lgx ≥ 1 > 0 (5).

[tex]lg2+\sqrt{lg(lgx)}=lg(10+lgx),\ sau\ \sqrt{lg(lgx)}=lg(10+lgx)-lg2;\\\\ lg(10+lgx)-lg2=lg\left(\dfrac{10+lgx}{2}\right).\\\\Conform\ rela\c{t}iei\ (5)\ lgx>0,\ deci\ putem\ aplica\ inegalitatea\ mediilor\\(Ma\geqslant Mg\ pentru\ 2\ numere\ pozitive):\\\\\dfrac{10+lgx}2\geqslant\sqrt{10\cdot lgx}\Rightarrow lg\left(\dfrac{10+lgx}{2}\right)\geqslant lg\left(\sqrt{10\cdot lgx}\right)=\dfrac{1}2\cdot lg(10\cdot lgx)=\\=\dfrac{lg10+lg(lgx)}2=\dfrac{1+lg(lgx)}2.[/tex]

Aplicăm din nou inegalitatea mediilor:

[tex]\dfrac{1+lg(lgx)}2\geqslant\sqrt{lg(lgx)}.\ Am\ ob\c{t}inut\ deci\ c\breve{a}:\\\\lg(10+lgx)-lg2\geqslant\sqrt{lg(lgx)}\Rightarrow lg2+\sqrt{lg(lgx)}\leqslant lg(10+lgx).\\\\ Egalitatea\ din\ enun\c{t}\ se\ ob\c{t}ine\ dac\breve{a}\ 10=lgx,\ deci\ x=10^{10}\subset(10^{8},10^{12}).[/tex]

Deci e) este răspunsul corect.

Green eyes.