Question

Ajutati-ma si pe mine cu exercitiul asta :
Determinat numerelenaturale a si b stiind ca indeplinesc simultan conditiile:
(a,b)=12, 5a+3b=1512

Answer 1

(a,b)=12 => a=12m
                    b=12n   cu (m,n)=1
Numerele m,n sunt naturale, prime intre ele.
Inlocuind in a doua relatie din ipoteza, avem:
5·12·m+3·12·n=1512 .
12(5m+3n)=1512 Impartim aceasta relatie prin 12 si avem:
5m+3n=126 ⇒ 5m =126-3n
Cum 126-3n este divizibil cu 3, rezulta ca m este divizibil cu 3.
126-3n este divizibil cu 5 de unde rezulta ca ultima cifra a lui 126-3n este 0 sau 5 de unde n are ultima cifra 2 sau 7.Daca ultima cifra a lui n este 2, atunci numarul 126-3n este par de unde rezulta ca si m este par, caz in care numerele nu sunt prime intre ele. 
In concluzie ultima cifra alui n nu poate fi decat 7.
Caz 1 n=7
5m=126-21=105 ⇒ m=21. Nu convine (7,21)=7
Caz 2 n=17
5m=126-51=75 ⇒ m=15 Cazul convine
Caz 3 n=27
5m=126-81=45 ⇒ m=9 Nu convine (9,27)=9
Caz4 n=37
5m=126-111=25 ⇒ m=3 Cazul convine
Pentru n=47.57 samd, obtinem m negativ. Nu luam in considerare celelelte cazuri 

Avem decci b=17·12=204
                    a=15·12=180
 sau b=12*37=444
      a=12*3=36