Question

Ajutati-ma urgent. va rog.

∀ΔABC dempnstrati ca are loc inegalitatea R≥2r.

Answer 1

Stim formulele pentru raza cercului circumscris
$R=\frac{abc}{4S}$ unde S este aria triunghiului
si raza cercului inscris
$r=\frac{S}{p}$ S este aria triunghiului si p este semiperimetrul cercului adica
$p=\frac{a+b+c}{2}$
Ne uitam la inegalitate cu aceste formule
$\frac{abc}{4S}\geq 2\frac{S}{p}\Rightarrow p*abc\geq 8S^{2}$
Dar stim ca aria unui triunghi poate fi scrisa conform formulei lui Heron
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
Asa ca avem acum urmatoarea inegalitate
$p*abc\geq 8*p*(p-a)*(p-b)*(p-c)\Rightarrow abc\geq 8(p-a)*(p-b)*(p-c)$
Facem urmatoarele notari
$x=p-a\Rightarrow a=p-x$
$y=p-b\Rightarrow b=p-y<span>$
$z=p-c\Rightarrow c=p-z<span>$
Atunci, stim ca p va fi egal in functie de x,y si z
$x+y+z=p-a+p-b+p-c=3p-(a+b+c)=3p-2p=p$
Facem inlocuirile in inegalitate
$(p-x)(p-y)(p-z)\geq 8*xyz$
Ne uitam acum la termenul din partea stanga
$(p-x)(p-y)(p-z)=(p^{2}-p(x+y)+xy)(p-z)=p^{3}-p^{2}z-p^{2}(x+y)-pz(x+y)+p*xy-xyz=p^{3}-p^{2}(x+y+z)+p(xy+yz+zx)-xyz=p^{3}-p^{2}*p+p(xy+yz+zx)-xyz=p(xy+yz+zx)-xyz$
Inlocuim acum in formula principala, stiind ca x+y+z=p
$<span>p(xy+yz+zx)-xyz\geq 8xyz\Rightarrow (x+y+z)(xy+yz+zx)\geq 9xyz\Rightarrow (x^{2}y+xyz+x^{2}z+x*y^{2}+y^{2}z+xyz+xyz+yz^{2}+xz^{2})\geq 9xyz\Rightarrow (x^{2}y+x^{2}z+xy^{2}+y^{2}z+yz^{2}+xz^{2})\geq 6xyz</span>$
Observam ca aici sunt trei inegalitati de forma
$x^{2}y+yz^{2}\geq 2xyz=y(x^{2}+z^{2})\geq 2xyz$ Care este evidenta, egalitatea atinsa cand x=y=z